คณิตศาสตร์ ม.5 – เวกเตอร์

PANYA SOCIETY

เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 3 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เวกเตอร์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “เวกเตอร์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เวกเตอร์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เวกเตอร์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 
  • เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
  • ผลคูณเชิงสเกลาร์ 
  • ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 

เวกเตอร์

เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
เช่น การบอกทางให้คนเดินไป ถ้าบอกแค่ว่า เดินไป 10 ก้าว จะยังไม่รู้ว่าต้องเดินไปทางไหน ต้องบอกว่า เดินไปในทิศทางไหนด้วย

เนื่องจากเวกเตอร์เป็นปริมาณที่บอกขนาดและทิศทางเท่านั้น ไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเริ่มจากจุดใดและไปจบที่จุดใด
ดังนั้นเราสามารถเลื่อนเวกเตอร์ได้ แต่ต้องไม่เปลี่ยนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์นั้น

เช่น พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้ว่า

เมื่อมีเวกเตอร์หนึ่งที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ u แต่มีทิศตรงข้ามกัน จะเรียกเวกเตอร์นั้นว่า -u


การบวกเวกเตอร์

* การลบเวกเตอร์ u – v จะหาได้จาก v + (-u)


การคูณด้วยสเกลาร์

การคูณค่าคงที่ c กับเวกเตอร์หนึ่ง จะทำให้ขนาดของเวกเตอร์นั้นเพิ่มขึ้นเป็น c เท่า
– ถ้า c เป็นบวก เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางเดิม
– ถ้า c เป็นลบ เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางตรงกันข้าม
เช่น


สมบัติการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

ให้ u เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุด x1, y1, z1 ไปยัง x2, y2, z2 ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังรูป

จะสามารถเขียนเวกเตอร์ในรูปคู่อันดับ ได้ดังนี้

(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

หรือสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์หลัก ได้ดังนี้


ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์ ก็คือ ความยาวของเวกเตอร์นั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง
ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วย |u|

เมื่อเวกเตอร์ u = (a, b, c) จะสามารถหาขนาดของเวกเตอร์ ได้จาก


เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

จะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ u ได้จาก

ผลคูณเชิงสเกลาร์

สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

การประยุกต์ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า “เวกเตอร์” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “เมทริกซ์” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “เมทริกซ์” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในเทอมต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ ม.5 เทอม 2 มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

ตัวอย่างบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ

1 Videos

บทที่ 2 เมทริกซ์

กลับหน้าบทความหลัก

ตัวอย่างการสอน โดยพี่ปิง

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คณิตศาสตร์ ม.5 – เมทริกซ์

PANYA SOCIETY

เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 2 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เมทริกซ์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 1 – 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “เมทริกซ์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เมทริกซ์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เมทริกซ์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • ระบบสมการเชิงเส้น
  • เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์
  • ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์
  • การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์
  • ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์
  • ตัวผกผันของเมทริกซ์
  • การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือ สมการที่ตัวแปรทุกตัวมีเลขยกกำลังเป็น 1

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถแก้สมการได้ตามปกติ
เช่น    2x + 1 = 5
            2x = 4
              x = 2

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 2 สมการ
เช่น    x + 3y = 8    เป็นสมการที่ (1)
        x – 2y = 3    เป็นสมการที่ (2)

คูณแต่ละสมการด้วยค่าคงที่ แล้วนำมาบวกลบกัน เพื่อกำจัด 1 ตัวแปร
       นำ (1) – (2) :     x + 3y – (x – 2y) = 8 – 3
                                            5y = 5
                                              y = 1
       แทน y = 1 ใน (1) :           x + 3(1) = 8
                                              x = 5

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 3 สมการ
เช่น    ระบบสมการ
                                     x + y + z = 2    เป็นสมการที่ (1)
                                     x + y – z = 4    เป็นสมการที่ (2)
                                   x + 2y + z = 4    เป็นสมการที่ (3)

นำ (1) – (2) :                              2z = -2
                                              z = -1
แทน z = -1 ใน (1) :               x + y – 1 = 2
                                         x + y = 3     เป็นสมการที่ (4)
แทน z = -1 ใน (2) :               x + y + 1 = 4
                                         x + y = 3
แทน z = -1 ใน (3) :             x + 2y – 1 = 4
                                       x + 2y = 5      เป็นสมการที่ (5)
นำ 2×(4) – (5) :       2x + 2y – (x + 2y) = 6 – 5
                                              x = 1
แทน x = 1 ใน (4) :                    1 + y = 3
                                             y = 2
ดังนั้น x = 1, y = 2, z = -1

เนื่องจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร คือ สมการเส้นตรง จึงอาจหาคำตอบของระบบสมการ 2 สมการ ได้ 3 แบบ
     1. หาคำตอบได้แน่นอน ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน
     2. หาคำตอบไม่ได้ ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองขนานกัน และไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน
     3. มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ คือ สิ่งที่เก็บข้อมูลกลุ่มหนึ่งไว้ โดยตำแหน่งของข้อมูลมีความสำคัญ ไม่สามารถสลับตำแหน่งของข้อมูลได้ สามารถเขียนได้โดย นำข้อมูลมาเขียนเรียนเป็นแถวและหลัก ไว้ในวงเล็บ [ ]

เช่น

กำหนดเมทริกซ์

  • เมทริกซ์ A มีขนาด (มิติ) m × n หมายความว่า เมทริกซ์ A มีจำนวน m แถว และมี n หลัก
  • เรียกสมาชิกที่อยู่ตำแหน่ง แถวที่ i หลักที่ j ว่า aij

ชนิดของเมทริกซ์

1. เมทริกซ์แถว คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 แถว ซึ่งจะมีมิติ = 1 × n

2. เมทริกซ์หลัก คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลัก ซึ่งจะมีมิติ = m × 1

3. เมทริกซ์ศูนย์ คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0

4. เมทริกซ์จตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก ซึ่งจะมีมิติ = k × k

5. เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก (แนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา) เป็นเลข 1 และสมาขิกที่เหลือเป็น 0

6. เมทริกซ์ทแยงมุม คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกซึ่งไม่อยู่ในแนวทแยงมุมหลักเป็น 0 ทั้งหมด

7. เมทริกซ์สเกลาร์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และสมาชิกที่เหลือเป็น 0

8. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

9. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือแนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับให้แถวเป็นหลัก ให้หลักเป็นแถว
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย At

เช่น

  • สมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะมีค่าเท่ากับ สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i ของเมทริกซ์ At
  • ถ้าเมทริกซ์ A มีมิติ = m × n แล้วเมทริกซ์ At มีมิติ = n × m
  • เมทริกซ์ (At)t จะเท่ากับ เมทริกซ์ A
  • ถ้าเมทริกซ์ At = A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์สมมาตร

การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่

ให้ k เป็นค่าคงที่

  • ถ้าเมทริกซ์ At = -A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์เสมือนสมมาตร

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ เมื่อมีมิติเท่ากัน และสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

เช่น

การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้เมื่อมีมิติเท่ากัน โดยนำตัวที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมาบวกหรือลบกัน

เช่น

สมบัติของการบวกเมทริกซ์

ให้ A, B, C เป็นเมทริกซ์ c, d เป็นค่าคงที่ และ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์
1. มิติของ A + B = มิติของ A = มิติของ B
2. A + B = B + A
3. (A + B) + C = A + (B + C)
4. A + 0 = 0 + A = A
5. A + (-A) = (-A) + A = 0
6. c(A + B) = cA + cB
7. (c + d)A = cA + dA
8. (cd)A = c(dA) = (dc)A = d(cA)
9. 1A = A
10. 0A = 0

การคูณเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ A จะคูณกับ B ได้ เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B
   ถ้า A มีมิติ m × n และ B มีมิติ n × p จะได้ A × B มีมิติ m × p

2. ให้ C = A × B
   จะได้ว่า Cxy หาได้จาก การนำแถวที่ x ของ A มากระทำกับหลักที่ y ของ B

   โดย Cxy = (ตัวที่ 1 ของแถว A)(ตัวที่ 1 ของหลัก B) + (ตัวที่ 2 ของแถว A)(ตัวที่ 2 ของหลัก B) + …

เช่น

สมบัติของการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ยกกำลัง

เมทริกซ์ที่ยกกำลังได้ จะต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส

เช่น

ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์

เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส มีค่าเป็นจำนวนจริง
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det A = |A|

เมทริกซ์ 2 × 2 หา det โดยการคูณแนวทแยงมุมหลัก ลบด้วยการคูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

เมทริกซ์ 3 × 3 หา det ได้โดยเติมสองหลักแรกต่อจากเมทริกซ์เดิม
แล้วหา det โดยคูณแนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา ลบด้วย คูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

ข้อควรรู้

  • เมทริกซ์ที่มี det เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน
  • เมทริกซ์ที่มี det ไม่เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ไมเนอร์

โคแฟกเตอร์

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ c เป็นค่าคงที่

1. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดเป็น 0 ทั้งหมด แล้ว det⁡ A = 0
2. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดซ้ำกัน แล้ว det ⁡A = 0
3. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือสามเหลี่ยมล่าง แล้ว det ⁡A = ผลคูณของแนวทแยงมุมหลัก
4. det⁡(AB) = det⁡(A)∙det⁡(B)
5. det⁡(An)= (det⁡A)n
6. det⁡(I) = 1
7. det⁡(At) = det⁡(A)
8. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้ว det ⁡B = c det ⁡A
9. det⁡(cA) = cn det⁡ A เมื่อ A มีมิติ = n × n
10. det⁡(0) = 0
11. ถ้า B เกิดจากการสลับแถวหรือสลับหลักของ A แล้ว det⁡ B = -det ⁡A
12. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้วนำไปบวกกับแถวหรือหลักอื่นของ A
    จะได้ det⁡ B = det ⁡A

ตัวผกผันของเมทริกซ์

เมทริกซ์ผกผันของ A คือ เมทริกซ์ที่เมื่อนำมาคูณกับ A แล้วได้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วย A-1

จะได้ว่า                                      A A-1 = A-1 A = In


เมทริกซ์ 2 × 2


สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

การแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์แต่งเติม

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. แต่งเติมเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B แล้วใช้การดำเนินการตามแถว
   ทำให้เมทริกซ์ A กลายเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว โดยจะมีลักษณะดังนี้
       1.) ในแต่ละแถว ตัวเลขแรกที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็นเลข 1
       2.) ตัวเลขที่อยู่ใต้เลข 1 ตัวแรก ต้องเป็น 0
       3.) เลข 0 ที่อยู่ก่อนเลข 1 ตัวแรก จะต้องเพิ่มขึ้นทุกแถว
       4.) ถ้ามีแถวที่เป็น 0 ทั้งหมด แถวต่อ ๆ ไป ต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด
3. เขียนระบบสมการใหม่ จากเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว จะได้ค่าของตัวแปร 1 ตัว
4. แทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการอื่น เพื่อหาค่าตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง

การแก้ระบบสมการด้วยกฎของเครเมอร์

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. หา x1 โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 1 ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A
3. หา xn โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ n ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A

ตัวอย่าง

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า เมทริกซ์ ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ จำนวนจริง ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “จำนวนจริง” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ เวกเตอร์ มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

ตัวอย่างบทเรียนเรื่องเมทริกซ์

1 Videos

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทที่ 3 เวกเตอร์

ตัวอย่างการสอน โดยพี่แชร์

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คอร์ส ม.4-ม.6 เทอม 1 ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

MENU

คอร์ส ม.4 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

เพียง 3,990.-

คอร์ส ม.5 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

เพียง 3,990.-

คอร์ส ม.6 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

เพียง 3,990.-

คอร์ส ม.4-ม.6 เทอม 1

(ฟิสิกส์ ● เคมี ● คณิตศาสตร์)

" !!!"

Promotion

คอร์ส ม.4 – ม.6 เทอม 1 ราคาสุดว้าว
รายเทอมวิชาละ 5,000 บาท
3 วิชาลดจาก 15,000 บาท
เหลือ 3,990 บาท

ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

ปิดเทอม เปิดปัญญา 2566 ซื้อ 1 ได้ถึง 3 คอร์ส เมื่อสมัครคอร์ส คอร์ส ม.4 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

ปิดเทอม เปิดปัญญา 2566 ซื้อ 1 ได้ถึง 3 คอร์ส เมื่อสมัครคอร์ส คอร์ส ม.5 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

ปิดเทอม เปิดปัญญา 2566 ซื้อ 1 ได้ถึง 3 คอร์ส เมื่อสมัครคอร์ส คอร์ส ม.6 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

**เมื่อสมัครเรียนแล้ว ทุกคอร์สใน Pack จะปรากฏที่เมนูคอร์สของฉันโดยอัตโนมัติ**

สิ่งที่จะได้รับ

พื้นฐานแน่น

สอนตั้งแต่พื้นฐาน เน้นความเข้าใจ หมดปัญหาจำสูตรได้แต่ใช้ไม่เป็น ด้วยการอธิบายที่มาของสูตรที่ใช้ในแต่ละเรื่องและวิธีการใช้อย่างมีประสิทธิภาพ

ข้อสอบครบทุกรูปแบบ

แบบฝึกหัด และโจทย์ไล่ระดับตั้งแต่ง่ายไปยาก จับเวลาทำแบบฝึกหัด พร้อมเฉลยละเอียดทุกข้อ

มีระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว

ระบบที่ออกแบบมาเพื่อการรเรียนออนไลน์ที่มีประสิทธิภาพสูงสุด ใช้ง่าย เรียนไม่เข้าใจ ถาม-ตอบกับคุณครู ได้ตลอด 24 ชม.

::คอร์สรายเทอม::

📚“รับ E-BOOK สมุดสรุปสูตร ทุกวิชาคอร์ส ม.ปลาย เทอม 1 ฟรี!”📚

สมุดสรุปสูตร
วิชาฟิสิกส์
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาเคมี
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาคณิตศาสตร์
(E-BOOK)

ความพิเศษของคอร์ส

1) สรุปเนื้อหาสำคัญแต่ละบทให้เข้าใจง่ายที่สุด

2) คัดสรรโจทย์สำคัญไล่ระดับความง่าย-ยาก ให้ฝึกทำหลายรูปแบบ

3) ถาม-ตอบ กับผู้ช่วยส่วนตัว

4) แบบเรียนสรุปเนื้อหา และตะลุยโจทย์ส่งถึงบ้าน ฟรี!!

รายละเอียด คอร์สเรียน

ฟิสิกส์ ม.4 เทอม 1 โดย พี่แชร์
ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ และเรื่องเกี่ยวกับกลศาสตร์หรือการเคลื่อนที่อีก 2 บท คือ การเคลื่อนที่แนวตรง, แรงและกฎการเคลื่อนที่ ในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหา การทดลองสนุก ๆ ที่จะทำให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหาอย่างเป็นรูปธรรม และแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนการทำโจทย์ ซึ่งหลังจากเรียนแล้วน้อง ๆ จะทั้งเข้าใจเนื้อหา และทำโจทย์ได้
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ สสวท (2560) ที่อยากเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับฟิสิกส์! หรืออยากจะเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยแต่เนิ่น ๆ

เคมี ม.4 เทอม 1 โดย พี่นัท
คอร์สนี้จะทำให้นักเรียนทุกคน ได้รู้ว่าวิชาเคมีไม่ใช่วิชาที่ยาก โดยครูนัทจะใช้วิธีการสอนที่จะพาน้อง ๆ ทุกคนสนุกไปด้วยกัน โดยครูจะสอนให้ใช้ทักษะการคิดวิเคราะห์ (Analytical thinking) และการคิดเชิงวิพากษ์ (Critical thinking) ในการทำความเข้าใจเนื้อหาแต่ละส่วน โดยไม่เน้นการท่องจำ
เนื้อหาในคอร์สนี้ ครอบคลุมเรื่อง ทักษะการปฏิบัติการทางเคมี แบบจำลองอะตอม การจัดเรียงอิเล็กตรอน ตารางธาตุ สมบัติของธาตุตามตารางธาตุ สารประกอบ ธาตุทรานซิชัน สารกัมมันตรังสี พันธะโลหะ พันธะไออนิก พันธะโคเวเลนซ์ โดยคุณครูจะใช้ตัวอย่างคำถามเพื่อช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจบทเรียนดียิ่งขึ้น และเมื่อศึกษาบทเรียนจบลงไปในแต่ละหัวข้อย่อย ครูนัทก็ยังมีแบบทดสอบย่อย เพื่อให้น้อง ๆ ได้ทดสอบความเข้าใจของตัวเองในบทเรียนเป็นช่วง ๆ พร้อมกับวิเคราะห์ และเฉลยละเอียดในทุกข้อ รวมทั้งสอดแทรกเทคนิคการจำที่น่าสนใจมากมาย ซึ่งจะทำให้น้อง ๆ ทุกคนมีความมั่นใจได้ว่า เราได้เรียนรู้และ เข้าใจได้มากขึ้น

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 โดย พี่ปิงและพี่แชร์
ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ ซต ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง และพหุนาม ในบทเรียนจะประกอบไปด้วยเนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายจนถึงระดับสูง เน้นให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงกับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก
 คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯ แบบท่องจำ ทำโจทย์ไม่ได้ โดย อาจารย์ปิงและอาจารย์แชร์ ให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน !!!

เข้าชมคอร์สเรียน

ฟิสิกส์ ม.5 เทอม 1 โดย พี่แชร์
ประกอบไปด้วยเนื้อหา 4 บท คือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย, คลื่น, แสงเชิงคลื่น, และแสงเชิงรังสี ในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหา การทดลองสนุก ๆ ที่จะทำให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหาอย่างเป็นรูปธรรม และแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนการทำโจทย์ ซึ่งหลังจากเรียนแล้วน้อง ๆ จะทั้งเข้าใจเนื้อหา และทำโจทย์ได้
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.5 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ สสวท (2560) ที่อยากเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับฟิสิกส์! หรืออยากจะเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยแต่เนิ่น ๆ

เคมี ม.5 เทอม 1 โดย พี่นัท
คอร์สนี้ จะมีทั้งส่วนที่เป็นเนื้อหาและการคำนวณ ซึ่งน้อง ๆ หลายคน อาจจะรู้สึกว่ามันยาก แต่ครูนัทจะใช้วิธีการสอนที่จะพาน้อง ๆ ทุกคน ให้ใช้ทักษะการคิดวิเคราะห์ ในการทำความเข้าใจเนื้อหาแต่ละส่วน รวมถึงอธิบายวิธีการคำนวณอย่างละเอียด ไม่เน้นท่องจำเนื้อหา ทำให้น้อง ๆ รู้สึกว่าวิชาเคมีไม่ใช่วิชาที่เรียนยากและไม่น่าเบื่อเลย
เนื้อหาในคอร์สนี้ ครอบคลุมเรื่อง แก๊สและสมบัติของแก๊ส การแพร่ผ่านของแก๊ส อัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี กลไกการเกิดปฏิกิริยาเคมี ปัจจัยที่ส่งผลต่ออัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี สมดุลเคมี ค่าคงที่สมดุล การเปลี่ยนภาวะสมดุล การคำนวณเรื่องสมดุลเคมี โดยแต่ละส่วนของเนื้อหา จะมีแบบฝึกหัดให้ทำ เพื่อช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจในบทเรียนที่เพิ่งเรียนไปได้ดียิ่งขึ้น และเมื่อศึกษาบทเรียนจบลงไปในแต่ละหัวข้อย่อย ครูนัทก็ยังมีแบบทดสอบย่อย เพื่อให้น้อง ๆ ได้ทดสอบความเข้าใจของตัวเองในบทเรียนเป็นช่วง ๆ พร้อมกับวิเคราะห์และเฉลยละเอียดในทุกข้อ รวมทั้งสอดแทรกเทคนิคการคำนวณที่น่าสนใจมากมาย ซึ่งจะทำให้น้อง ๆ ทุกคนมีความมั่นใจได้ว่า เราได้เรียนรู้และเข้าใจได้มากขึ้น

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 โดย พี่ปิงและพี่แชร์
ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เมทริกซ์ เวกเตอร์ในสามมิติ ในบทเรียนจะประกอบไปด้วยเนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายจนถึงระดับสูง เน้นให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงกับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก
คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.5 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯแบบท่องจำ ทำโจทย์ไม่ได้ โดย อาจารย์ปิงและอาจารย์แชร์ ให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน !!!

เข้าชมคอร์สเรียน

ฟิสิกส์ ม.6 เทอม 1 โดย พี่แชร์
ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ เรื่องแม่เหล็กและไฟฟ้า, ความร้อนและแก๊ส, และของแข็งและของไหล ในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหา การทดลองสนุก ๆ ที่จะทำให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหาอย่างเป็นรูปธรรม และแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนการทำโจทย์ ซึ่งหลังจากเรียนแล้วน้อง ๆ จะทั้งเข้าใจเนื้อหา และทำโจทย์ได้
คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.6 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ สสวท (2560) ที่อยากเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับฟิสิกส์! หรืออยากจะเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยแต่เนิ่น ๆ

เคมี ม.6 โดย พี่นัท
คอร์สนี้ จะเป็นเนื้อหาที่เน้นการบรรยาย ซึ่งน้อง ๆ หลายคน อาจจะรู้สึกว่ามันยาก และน่าเบื่อ แต่ครูนัทจะใช้วิธีการสอนที่จะพาน้อง ๆ ทุกคน ให้ใช้ทักษะการคิดวิเคราะห์ ในการทำความเข้าใจเนื้อหาแต่ละส่วน ไม่เน้นท่องจำเนื้อหา แต่ทำให้น้อง ๆ รู้สึกว่าวิชาเคมีไม่ใช่วิชาที่เรียนยากและไม่น่าเบื่อเลย
เนื้อหาในคอร์สนี้ ครอบคลุมเรื่อง เคมีอินทรีย์ และพอลิเมอร์ ซึ่งในแต่ละเรื่องจะมีแบบฝึกหัด ให้น้อง ๆ ค่อย ๆ ทำความเข้าใจไปทีละเรื่อง และ สามารถเชื่อมโยงแต่ละเรื่องเข้าด้วยกัน เพื่อให้สามารถทำโจทย์ที่มีความยากและซับซ้อนได้

คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 โดย พี่นอต
ประกอบไปด้วยเนื้อหาครบตามหลักสูตร สสวท (2560) ได้แก่ ลำดับ อนุกรม ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ การประยุกต์ของอนุพันธ์ และปริพันธ์ ในบทเรียนจะประกอบไปด้วยเนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายจนถึงระดับสูง เน้นให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงกับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องได้เรียนเทคนิค Math Magic แล้วจะเข้าใจเนื้อหาอย่างละเอียด และเสกโจทย์ยากให้กลายเป็นง่ายได้แน่นอน
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.6 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯ แบบท่องจำ ทำโจทย์ไม่ได้ อาจารย์นอตจะมาเสกให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน !!!

เข้าชมคอร์สเรียน

Video ตัวอย่าง

⛱ม.4 เทอม 1🫧

⛱ม.5 เทอม 1🫧

⛱ม.6 เทอม 1🫧

ความประทับใจจากผู้เรียน

พัชมณฑ์ ภู่ศิริ - โรงเรียนสิรินธรราชวิทยาลัย จังหวัดนครปฐม
พัชมณฑ์ ภู่ศิริ - โรงเรียนสิรินธรราชวิทยาลัย จังหวัดนครปฐม● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1
Read More
“ได้เรียนฟิสิกส์กับพี่เเชร์ตอนคอร์สม.5 เเละม.6 รู้สึกทำให้ตอนนี้ชอบเรียนวิชาฟิสิกส์มาก มีความสุขทุกคาบเมื่อถึงคาบฟิสิกส์ เมื่อทำโจทย์ได้ ก็จะรู้สึกสนุกกับการเรียน พี่เเชร์สอนเข้าใจ เเละอาจจะมีการทดลองเล็ก ๆ น้อย ๆ ประกอบการสอน ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น ได้เรียนเคมีกับพี่นัทตอน ม.6 ก็ทำให้เข้าใจเนื้อหามากขึ้น ประกอบกับต้องทำโจทย์เพิ่มเติมอีก เเละพี่นอต ได้เรียนเนื้อหาม.6 เทอม 1 เรื่องเเคลคูลัส ทำให้รู้สึกเข้าใจในคณิตศาสตร์มากขึ้น จากที่ไม่ค่อยชอบเรียน เพราะเรียนไม่รู้เรื่อง ก็เริ่มจะเข้าใจมากขึ้น โดยรวมเเล้วคอร์สของ Panya Society ทำให้หนูสามารถเข้าใจเนื้อหา อยากที่จะเรียนสายวิทยาศาสตร์ต่อในระดับมหาวิทยาลัย ที่สำคัญคือราคาเหมาะสม ไม่เเพง เเละเวลาคลิปในเเต่ละคอร์สไม่มากจนเกินไป สามารถดูทันได้ เนื้อหาเเน่น กระชับ เเละเน้นโจทย์ประกอบเสมอ” — สอบติด: คณะเภสัชศาสตร์ มหาวิทยาลัยศิลปากร (DEK66)
ศศิธร โอสายไทย - โรงเรียนร่มเกล้า บุรีรัมย์ จังหวัดบุรีรัมย์
ศศิธร โอสายไทย - โรงเรียนร่มเกล้า บุรีรัมย์ จังหวัดบุรีรัมย์● คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 | เคมี คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1
Read More
“เเนะนำดี อธิบายเข้าใจ ภาพสวย เนื้อหาชัดเจน ทั้งเคมีเเละคณิตที่เข้าใจยาก ทำให้เข้าใจง่ายค่ะ” — สอบติด: คณะพยาบาลศาสตร์ (DEK66)
เบญจรัตน์ สุขเจริญ (มด) - โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ลพบุรี จังหวัดลพบุรี
เบญจรัตน์ สุขเจริญ (มด) - โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ลพบุรี จังหวัดลพบุรี● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“เป็นคนที่มาเริ่มต้นเรียนเนื้อหา ม.ปลายใหม่ ตอน ม.6 เพราะช่วง ม.4 ไม่ได้เข้าใจเนื้อหาจริง ๆ พอได้มาเรียนก็รู้สึกเป็นการทบทวนที่ดีมากทำให้พื้นฐานแน่น พอพื้นฐานแน่นก็ส่งผลให้ไปต่อได้เร็ว เหมาะกับคนที่ต้องรีบเตรียมตัวสอบแต่มีพื้นฐานที่ยังไม่แน่นพอค่ะ ความประทับใจกับครู คือสอนพื้นฐานได้ดีมากค่ะ และชอบตรงที่เราไม่เข้าใจตรงไหน เมื่อถามไปจะได้คำตอบรวดเร็วและเข้าใจมาก ๆ” — สอบติด: คณะเศรษฐศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ (DEK64)
เมธาวินทร์ มหามิตร (บูม) - โรงเรียนในจังหวัดราชบุรี
เมธาวินทร์ มหามิตร (บูม) - โรงเรียนในจังหวัดราชบุรี● ฟิสิกส์ ม.4 เทอม 1
Read More
“หลังจากเรียนกับพี่แชร์ ผมรู้สึกว่าเข้าใจวิชาฟิสิกส์ขึ้นมาก ๆ ครับ จากที่ผมแบบไม่ค่อยตั้งใจในห้องเรียน เรียนในห้องไม่ค่อยเขาใจสักเท่าไหร่ เพราะบางทีคุณครูใน รร.คืออาจไปเร็วไปนิดครับ แต่พอแบบมาเรียนกับพี่แชร์ ผมรู้สึกแบบเปิดกว้างกับวิชานี้มากเลย และทำให้ผมรู้สึกชอบฟิสิกส์เลยนะครับ ทำให้ฟิสิกส์ตอนม.4 เทอม 1 ผมได้ 4.00“
ศศิกาญจน์ หอมจันทน์ (เอิร์น) - โรงเรียนนวมินทราชินูทิศ สตรีวิทยา พุทธมณฑล กรุงเทพฯ
ศศิกาญจน์ หอมจันทน์ (เอิร์น) - โรงเรียนนวมินทราชินูทิศ สตรีวิทยา พุทธมณฑล กรุงเทพฯ● เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 | ฟิสิกส์ ม.5 เทอม 1
Read More
“เราพยายามหาคอร์สที่โอเคกับเราทั้งในด้านการเรียน การสอน และค่าใช้จ่าย แล้วก็ได้รู้จักกับ Panya Society ผ่านทางคนรอบข้าง และได้ทดลองเรียนดูค่ะ พอได้ลองเรียนดูแล้ว ค่อนข้างตรงกับที่เราต้องการในทุกด้าน ถือว่าคุ้มค่ามาก ๆ เข้าใจเนื้อหาที่เรียนในห้องค่ะ ยิ่งถ้าเรียนก่อนไปเรียนในห้องจะเข้าใจเนื้อหาดีเลยค่ะ สามารถต่อยอดได้เยอะ แล้วก็ใช้ในการเพิ่มผลการเรียนได้อีกด้วย (เกรดปัจจุบัน 3.95) ชอบระบบการเรียน คอร์สอยู่ได้นานมากไม่มีจับเวลาวนซ้ำกี่รอบก็ได้ สะดวก เรียนได้ทุกเวลา”
แพรพลอย ศาลติกุลนุการ (แพร) - โรงเรียนคณะราษฎร์บำรุงปทุมธานี จังหวัดปทุมธานี
แพรพลอย ศาลติกุลนุการ (แพร) - โรงเรียนคณะราษฎร์บำรุงปทุมธานี จังหวัดปทุมธานี● คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1
Read More
“ก่อนที่จะได้เรียนกับ Panya Society คือเกรดแพรเนี่ยไม่ค่อยจะดีเท่าที่ตัวเองหวังไว้ แต่พอได้เรียนกับ Panya Society เกรดแพรก็ขึ้นมาจนงงว่าตัวเองทำได้ยังไง จากที่แพรไม่เคยได้ฟิสิกส์เกรด 4 เลย แต่เทอมนี้แพรได้ฟิสิกส์เกรด 4 เกรดดีขึ้นกว่าเดิมเยอะมาก ๆ เลยค่ะ มีแนวข้อสอบให้ลองทำเยอะมาก ๆ ไม่เข้าใจก็สามารถถามได้ สอนตรงจุด และเข้าใจง่ายมาก เวลาทำแบบฝึกหัดเสร็จแต่ละข้อ อ.ก็จะอธิบายแบบละเอียดทำให้เข้าใจมากกว่าเดิมค่ะ”
วรินยุพา ตันนุเคราะห์ (วิว) - โรงเรียนมหาวชิราวุธ สงขลา จังหวัดสงขลา
วรินยุพา ตันนุเคราะห์ (วิว) - โรงเรียนมหาวชิราวุธ สงขลา จังหวัดสงขลา● ฟิสิกส์ เคมี ม.5 เทอม 1
Read More
“จริง ๆ แล้วเป็นคนที่ชอบในวิชาเคมีมาก ตอนแรกก็ไม่ได้รู้สึกอะไรเท่าไหร่ แต่ก็ดีใจที่ได้มาเจอกับคอร์สเรียนของอาจารย์นัทเพราะทุกครั้งที่เรียนรู้สึกว่าตัวเองได้พัฒนาศักยภาพอยู่เสมอ อาจารย์นัทเป็นคนที่สอนดีเข้าใจง่าย รู้สึกดีใจมากแล้วก็ไม่ผิดหวังที่ได้เลือกเรียนคอร์สของทางสถาบันไป เนื่องจากทางสถาบันเป็นเหมือนเพื่อนที่คอยดูแลเอาใจใส่อยู่ตลอดเวลา ไม่เข้าใจหรือสงสัยอะไรสามารถถามได้ตลอด แล้วทางพี่ ๆ ก็จะตอบกลับโดยเร็วมาก รู้สึกเหมือนทางสถาบันจะใส่ใจเราอย่างมาก”
พีรณัฏฐ์ ปินตาสี (เฟิร์ส) - โรงเรียนลำปางกัลยาณี จังหวัดลำปาง
พีรณัฏฐ์ ปินตาสี (เฟิร์ส) - โรงเรียนลำปางกัลยาณี จังหวัดลำปาง● ฟิสิกส์ เคมี ม.5 เทอม 1
Read More
“ก่อนเรียนผมเป็นคนที่สมองปานกลาง เข้าใจบ้างไม่เข้าใจบ้าง ต้องอาศัยเพื่อน ๆ ช่วยติวให้ก่อนสอบตลอดเลย แต่หลังจากที่เรียนกับทาง Panya Society ผมก็สามารถเข้าใจเนื้อหาที่เรียนล่วงหน้าก่อนที่จะได้เรียนจริง ๆ ทำให้เราสามารถเชื่อมโยงสิ่งที่ครูสอนได้มีประสิทธิภาพมากขึ้น ชอบเอกสารประกอบการเรียนมากครับ เพราะเหมือนเป็นการ สรุปจากหนังสือมาแล้ว ตั้งแต่ผมเรียนที่นี่ก็ไม่เคยเปิดหนังสือที่โรงเรียนแจกเลย เกรดเฉลี่ยของผมเพิ่มขึ้นสูงมาก จากเดิม ม.4 เทอม 2 เกรดเฉลี่ยอยู่ที่ 3.68, ม.5 เทอม 1 (เริ่มเรียนกับ Panya Society) เกรดเฉลี่ยอยู่ที่ 3.92 และม.5 เทอม 2 เกรดเฉลี่ย อยู่ที่ 3.98″
Dow Yodsarint
Dow Yodsarint● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“หนูเรียนแล้วนะคะ สอนดีมาก ๆๆ เลยค่ะ แล้วก็มีตอบคำถามด้วย ชอบมาก ๆๆๆๆๆ เลยค่ะ เรียนคณิตอยู่แล้วชอบมากค่ะ อ.แชร์อธิบายละเอียดมากกกกกก โจทย์คณิตอ.แชร์เยอะมาก จริง ๆ ชอบเคมีกับฟิสิกส์ด้วยค่ะ เนื้อหาแน่นมาก เคมีคือเนื้อหาละเอียดมากกกกก พี่แอดมินใจดีด้วยค่ะ 55 ฝากขอบคุณพี่ ๆๆ กับอาจารย์ทุกท่านด้วยนะคะ ที่เต็มที่กับ Panya Society มาก ๆ หนูรอคอร์สใหม่เทอม 2 เลยค่ะ สมัครแน่นอน ถ้าเป็นไปได้อยากให้พี่มีทุกวิชาแล้วก็ทุกชั้นปีเลยค่า หนูจะได้ให้น้องมาสมัครเรียนด้วยค่า”
Kanwara Srimaung
Kanwara Srimaung● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“สอนดีมากเลยค่ะ มีเนื้อหาสรุปส่งมาให้บ่อยเลยค่ะ พี่ ๆ สอนดีมาก เเล้วก็มีเทคนิคให้จำเยอะมากเลยค่ะ เวลาไม่เข้าใจก็ถามพี่ ๆ ได้ เเล้วเราก็สามารถเรียนตอนไหนก็ได้ที่สะดวก เเนะนำมาก ๆ เลยค่ะ♡“
Natcha Kasornchuen
Natcha Kasornchuen● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“ส่วนตัวหนูชอบมากเลยค่ะ อาจารย์ทุกท่านสอนดี โชคดีที่หนูมาเห็นก่อนที่จะเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เพราะเป็นคนที่เรียนในส่วนที่เป็นวิชาคณิตศาสตร์อ่อนมาก และวิชาอื่นๆ ที่เรียนด้วย เลยลองตัดสินเรียนของ Panya Society เเละชอบมาก ๆ ค่ะ เข้าใจง่าย“
แพรไหมทอง ธรรมจันทร์
แพรไหมทอง ธรรมจันทร์● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“พี่ ๆ น่ารักมากค่ะ ชอบที่ส่งความรู้ให้เกือบทุก ๆ วันค่ะ มีการสรุปให้ในการสอบกลางภาคด้วย เนื้อหาที่สอนละเอียดตรงประเด็นเข้าใจง่ายค่ะ ชอบที่มีโจทย์ให้ฝึกทำหลังท้ายบทด้วยค่ะ”
บา 'แรนซ์ (Theepakorn Surapha)
บา 'แรนซ์ (Theepakorn Surapha)● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“Panya Society สอนเนื้อหาดีมาก ๆ เข้าใจง่ายมาก เรียนจากที่นี่แล้วสามารถทำข้อสอบ และเรียนที่โรงเรียนได้อย่างสบาย เป็นเนื้อหาที่สอนเข้าใจได้ดีชอบมาก ๆ ค่ะ”
Supacha Kiaowong
Supacha Kiaowong● ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
Read More
“ชอบมาก ๆ ค่ะ สอนละเอียดเข้าใจง่ายมาก หนังสือเรียนก็ละเอียด พี่ ๆ ทุกคนน่ารักมาก ๆ ทาง Panya Society ก็มีกิจกรรมมาให้เล่นบ่อย ๆ พร้อมแจ้งข่าวสารตลอดเลย”
Previous
Next

ติวเตอร์คนเก่ง

คอร์สเรียนแนะนำ

มาติวกันเลยกับ อาจารย์ระดับเทพ

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1​

PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

      พี่นอต แห่ง Panya Society ได้ฝากถึงน้อง ๆ ม.6 ทุก ๆ คนว่า “ตอนนี้น้อง ๆ ได้เรียนวิชาคณิตศาสตร์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย มาถึงปีสุดท้ายกันแล้ว และก็เดินทางมาถึงเทอม 1 ของเลข ม.6 ซึ่งเป็นวิชาที่น้อง ๆ หลายคนมักกลัวการคำนวณ แต่จาก ม.5 เทอม 2 ที่ผ่านมาทั้ง 3 บท ได้แก่ จำนวนเชิงซ้อน, หลักการนับเบื้องต้น และความน่าจะเป็น ทั้งหมดทุกบทไม่ได้มุ่งเน้นการคำนวณที่ยาก แต่เป็นการพยายามวัดตรรกะ ความรู้ ความเข้าใจ ความเป็นเหตุเป็นผล และการเชื่อมโยงข้อมูลมากกว่า
      ดังนั้น คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไม่ได้ยากอย่างที่คิดครับ เมื่อมาถึงบทใน ม.6 เทอม 1 นี้ สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้อง ๆ จะได้พบกับ 2 บท ได้แก่ ลำดับและอนุกรม และแคลคูลัสเบื้องต้น”

บทที่ 1 ลำดับและอนุกรม

  • นิยามของลำดับ
  • ลำดับเลขคณิต
  • ลำดับเรขาคณิต 
  • ลิมิตของลำดับ
  • นิยามของอนุกรม
  • เครื่องหมายซิกมา
  • อนุกรมเลขคณิต
  • อนุกรมเรขาคณิต
  • อนุกรม telescopic
  • การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม

บทที่ 2 แคลคูลัสเบื้องต้น

  • ลิมิตของฟังก์ชัน
  • ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 
  • อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
  • อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
  • อนุพันธ์อันดับสูง
  • ความชันของเส้นโค้ง
  • การเคลื่อนที่แนวตรง
  • ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
  • ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน 
  • ปฏิยานุพันธ์
  • การหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
  • การหาปริพันธ์จำกัดเขต
  • พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

     จากเนื้อหาทั้งหมดของคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 จะเห็นได้ว่าภาพรวมของเทอม 1 นี้จะเน้นเรื่องความเข้าใจของฟังก์ชัน กราฟ และการจัดระบบชุดความคิดเชิงข้อมูล โดยมีการคำนวณค่อนข้างเยอะ ดังนั้น สิ่งที่น้อง ๆ จำเป็นก็คือ ต้องสร้างความรู้ความเข้าใจในพื้นฐาน และฝึกฝนการคำนวณด้วย      

       นอกจากนี้ น้อง ๆ มีความจำเป็นอย่างยิ่ง ที่จะต้องเก็บเนื้อหาของทั้ง 2 บทนี้ ให้ครบถ้วนที่สุด เพราะเป็นบทสำคัญที่พบว่าออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยไม่ว่าจะเป็น PAT1 หรือ 9 วิชาสามัญมาอย่างต่อเนื่องตลอดหลายปีที่ผ่านมา เรามาดูสถิติการออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยย้อนหลังในอดีต ของเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 กันดีกว่าว่า 2 บทนี้ มีจำนวนข้อ และการออกบ่อยน้อย-มากแค่ไหนตามตารางนี้ครับ

สถิติข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยวิชาสามัญ ปี 2557-2565 เฉพาะ 2 บทของคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1
สถิติข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยวิชาสามัญ ปี 2557-2565 เฉพาะ 2 บทของคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1

          น้อง ๆ คงเห็นแล้วว่า เนื้อหาของเลข ม.6 เทอม 1 ถูกพบอยู่ในข้อสอบเยอะขนาดนี้ แถมเนื้อหายังไม่ค่อยซับซ้อน อาศัยการคำนวนเบ้าง ทำให้น้อง ๆ สามารถเก็บคะแนนจากเนื้อหาส่วนนี้ได้โดยไม่ยาก พี่เลยอยากให้น้องทุกคนควรฟิตความรู้ของเลข ม.6 เทอม 1 และเตรียมตัวให้เข้าใจเนื้อหาการเรียนตั้งแต่วันนี้ เพื่อปูเป็นพื้นฐานในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยให้พร้อมที่สุด

         เพราะฉะนั้น พี่นอต แห่ง Panya Society ขอแนะนำคอร์ส คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 ซึ่งภายในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับสูง เน้นฝึกให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก ทำให้มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องได้เรียนเทคนิค Math Magic แล้วจะทำให้เข้าใจเนื้อหาอย่างละเอียด และเสกโจทย์ยากให้กลายเป็นง่ายได้แน่นอน

         คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ระดับชั้น ม.6 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) และเบื่อกับการเรียนเลขแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ พี่นอตจะมาเสกให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การติวคณิตศาสาตร์เตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเช่น คณิตศาสตร์ A – Level ก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน

         สุดท้ายนี้พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 และขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียนในเทอมนี้ครับ แล้วพบกันใหม่ในบทความต่อไปครับ…

กลับหน้าบทความหลัก

ลำดับและอนุกรม

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คณิตศาสตร์ ม.5 – ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

PANYA SOCIETY

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 1 ของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่านๆมา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบสูงสุด โดยเฉลี่ยถึงประมาณ 3-4 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ออกข้อสอบหลายข้อจริง ๆ ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • ทบทวนบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ
  • มุมเรเดียนและวงกลมหนึ่งหน่วย 
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • ทบทวนเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 
  • สูตรตรีโกณมิติ
  • ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • สมการตรีโกณมิติ 
  • กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ 
  • การแก้ปัญหาโดยใช้ตรีโกณมิติ 

ทบทวนบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม มีผลรวมเท่ากับ 180°

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

a2 + b2 = c2

สามเหลี่ยมคล้าย

สามเหลี่ยมสองรูป จะคล้ายกันเมื่อมีมุมเท่ากันทั้งสามคู่

△ AฺBC ~ △ DEF

จะได้ว่า อัตราส่วนของด้านที่อยู่ระหว่างมุมเดียวกัน จะมีอัตราส่วนเท่ากัน

เช่น


อัตราส่วนตรีโกณมิติ

***ข้อควรรู้***

เมื่อเรารู้ความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะหาความยาวอีกด้านได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น เราจะหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้งหมดได้เสมอ เมื่อรู้ความยาวด้านเพียงสองด้าน


ค่าตรีโกณมิติของมุมที่พบบ่อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

– กราฟของ y = sin x

– กราฟของ y = cos x

– กราฟของ y = tan x

– กราฟของ y = cot x

– กราฟของ y = sec x

– กราฟของ y = cosec x


การแปลงกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

– คาบ คือ ความยาวของช่วงที่สั้นที่สุดที่ทำให้กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเหมือนกันกับช่วงอื่น ๆ
– แอมพลิจูด คือ ครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

กำหนดให้ C เป็นค่าคงที่ ซึ่งไม่เท่ากับ 0

    • sin(Cx) หรือ cos(Cx) :       คาบ = 2π/|C|   เรนจ์ = [-1, 1]   แอมพลิจูด = 1

    • sin x + C หรือ cos x + C :   คาบ = 2π   เรนจ์ = [C-1, C+1]   แอมพลิจูด = 1

    • C sin x หรือ C cos x :       คาบ = 2π   เรนจ์ = [-|C|, |C|]   แอมพลิจูด = |C|    

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม

sin2 θ + cos2 θ = 1

sec2 θ = tan2 θ + 1

cosec2 θ = cot2 θ + 1

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

tan (θ + 2nπ) = tan θ

sec (θ + 2nπ) = sec θ

cosec (θ + 2nπ) = cosec θ

cot (θ + 2nπ) = cot θ

sin (-θ ) = – sin θ

cos (-θ ) = cos θ

tan (-θ ) = – tan θ

sec (-θ ) = sec θ

cosec (-θ ) = – cosec θ

cot (-θ ) = – cot θ

สูตรตรีโกณมิติ

สูตรผลบวกและผลต่างของมุม

sin⁡(A+B) = sin⁡ A cos ⁡B + cos ⁡A sin ⁡B
sin⁡(A-B) = sin ⁡A cos ⁡B – cos ⁡A sin ⁡B
cos⁡(A+B) = cos⁡ A cos ⁡B – sin ⁡A sin⁡ B
cos⁡(A-B) = cos ⁡A cos ⁡B + sin ⁡A sin⁡ B
                                                   

 

 

สูตรมุมสองเท่า

sin⁡ 2A = 2 sin ⁡A cos ⁡A
cos⁡ 2A = cos2 A – sin2 A
          = 1 – 2 sin2 A
          = 2 cos2 A – 1                                                                               

สูตรมุมครึ่งเท่า

สูตรผลคูณของ sin กับ cos

2 cos⁡ A cos ⁡B = cos⁡(A+B) + cos(A-B)
-2 sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A+B) – cos(A-B)
2 sin⁡A cos⁡B = sin⁡(A+B) + sin(A-B)
2 cos⁡A sin⁡B = sin⁡(A+B) – sin(A-B)

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เขียนแทนด้วย arc ตามด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ-1

เช่น       จาก sin⁡ θ = 1 

           จะได้ arcsin(1) = θ = sin-1(1) = 90°

เรนจ์ของฟังก์ชัน arc

arcsin : [-90°, 90°]
arctan : (-90°, 90°)
arccosec : [-90°, 90°] – {0°}

arccos : [0°, 180°]
arccot : (0°, 180°)
arcsec : [0°, 180°] – {90°}

เทคนิคการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

1. ไม่สนใจเครื่องหมายของค่าในฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ให้หาค่า θ ของค่าบวกก่อน
2. พิจารณาว่า θ ควรอยู่ในจตุภาคใด โดยดูจากเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันนั้น

ตัวอย่างโจทย์

จงหา sec -1(-2)  เฉลย

เทคนิคการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุม arc

1. กำหนดมุม arc เป็นมุม θ
2. วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม α ซึ่งมีค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เท่ากับ |ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม θ|
3. หาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม α
4. พิจารณาเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการ โดยการพิจารณาว่ามุม θ อยู่จตุภาคใด

ตัวอย่างโจทย์

จงหา sin(2 arctan (2))  เฉลย

สมการตรีโกณมิติ

เทคนิคการแก้สมการตรีโกณมิติ

1. เปลี่ยน cosec, sec, cot ไปเป็น sin, cos, tan
2. ปรับสมการให้เหลือฟังก์ชันตรีโกณมิติน้อยที่สุด
3. ใช้สูตรหรือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่าง ๆ ปรับสมการให้อยู่ในรูป ผลคูณ = 0
4. ใช้การแก้สมการตัวแปรเดียวหรือการแก้สมการพหุนาม มาช่วยแก้
   เช่น    tan2 ⁡θ – 3 tan ⁡θ + 2 = 0
          (tan ⁡θ – 2)(tan ⁡θ – 1) = 0
5. ตรวจเครื่องหมายของคำตอบและช่วงของคำตอบให้ดี เพื่อให้ได้คำตอบครบ ถูกต้อง และไม่เกิน

ตัวอย่างโจทย์

จงแก้สมการ cos 2θ + 5 sin θ + 2 = 0   เฉลย

กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

กฎของไซน์

กฎของโคไซน์

a2 = c2 + b2 – 2bc cos A

การแก้ปัญหาโดยใช้ตรีโกณมิติ

1. วาดรูป เพื่อให้เห็นภาพและสามารถวิเคราะห์โจทย์ได้ง่ายขึ้น
2. หาข้อมูลที่เรารู้จากโจทย์
3. ตีความโจทย์ ว่าต้องการให้หาอะไร
4. ใช้ความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างโจทย์

เจนนี่ยืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15° แต่เมื่อตรงเข้าไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75° ถ้าเจนนี่สูง 165° เซนติเมตร จงหาความสูงของเสาธง

 เฉลย

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทที่แล้ว ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับเมทริกซ์ มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

กลับหน้าบทความหลัก

บทที่ 2 เมทริกซ์

ตัวอย่างการสอน โดยพี่แชร์

ตัวอย่างการสอน โดยพี่ปิง

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คอร์ส New A-Level ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ พิชิต TCAS67

MENU

ฟิสิกส์+เคมี A-Level

เพียง 6,990 บาท

เพียง 6,990.-

ฟิสิกส์+คณิต A-Level

เพียง 6,990 บาท

เพียง 6,990.-

เคมี+คณิต A-Level

เพียง 6,990 บาท

เพียง 6,990.-

A-Level New TCAS67

คอร์ส A-Level NEW TCAS67

(ฟิสิกส์ ● เคมี ● คณิตศาสตร์)

" !!!"
*รับ code ส่วนลด ได้ในคอร์สเรียน

Promotion ซื้อ 1 ได้ถึง 3

ตั้งแต่วันนี้ – 30 เมษายน 2566

1. คอร์ส A-Level แพ็กคู่ 2 วิชา

(ฟิสิกส์+เคมี / ฟิสิกส์+คณิตศาสตร์
/ เคมี+คณิตศาสตร์)
จากราคา 20,000 บาท
เหลือเพียง 6,990 บาท

2. ฟรี TCAS Booster

(ฟิสิกส์ เคมี และคณิตศาสตร์)
มูลค่า 990 บาท

3. คูปองส่วนลด

สำหรับคอร์สถัดไป
มูลค่า 390 บาท

ซื้อ 1 ได้ถึง 3 เมื่อสมัครคอร์ส A-Level New TCAS67 2 วิชา ฟิสิกส์ + เคมี A-Level รับไปเลย TCAS BOOSTER และคูปองส่วนลดคอร์สถัดไปมูลค่า 390 บาท

เพียง 6,990 บาท

ซื้อ 1 ได้ถึง 3 เมื่อสมัครคอร์ส A-Level New TCAS67 2 วิชา ฟิสิกส์ + คณิตศาสตร์ A-Level รับไปเลย TCAS BOOSTER และคูปองส่วนลดคอร์สถัดไปมูลค่า 390 บาท

เพียง 6,990 บาท

ซื้อ 1 ได้ถึง 3 เมื่อสมัครคอร์ส A-Level New TCAS67 2 วิชา เคมี + คณิตศาสตร์ A-Level รับไปเลย TCAS BOOSTER และคูปองส่วนลดคอร์สถัดไปมูลค่า 390 บาท

เพียง 6,990 บาท

**เมื่อสมัครเรียนแล้ว ทุกคอร์สใน Pack จะปรากฏที่เมนูคอร์สของฉันโดยอัตโนมัติ**
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67
และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566

สิ่งที่จะได้รับ

คุ้ม

  • คอร์ส A-Level New TCAS67 ราคาพิเศษ 2 วิชา 6,990 บาท พร้อมของแถมคุ้มค่ามากมาย
  • หนังสือเรียนมากถึง 13 เล่ม ส่งถึงบ้าน ฟรี!
  • E-BOOK สมุดสรุปสูตร TCAS PANYA SMARTBOOK วิชาฟิสิกส์ เคมี และคณิตศาสตร์ ฟรี!
  • เรียนได้ไม่จำกัดชั่วโมงตลอด 1 ปีนับจากวันสมัคร

ครบ

  • เนื้อหา ม.ปลาย ครบทุกบท ตรงตามหลักสูตร สสวท.
  • ข้อสอบครบทุกรูปแบบ กว่า 3,000 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดทุกข้อ ถึงปี 66
  • Online Exam แบบทดสอบออนไลน์ 1,000 ข้อ
  • เน้นวิเคราะห์เก่ง ตามแนวข้อสอบ A-Level รูปแบบใหม่

จบ พร้อมสอบ

  • Update!! เมื่อมีข้อสอบ A-Level ล่าสุดถึงปี 66
  • Update ทันที!! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและข้อสอบ ตาม Test Blueprint TCAS67
  • โค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ถาม-ตอบ 24 ชั่วโมง พร้อมสนับสนุนนักเรียนทุกคนถึงเป้าหมายทุกคณะที่ต้องการ

TCAS PANYA SMARTBOOK
ฟิสิกส์ (E-BOOK)

TCAS PANYA SMARTBOOK
เคมี (E-BOOK)

TCAS PANYA SMARTBOOK
คณิต (E-BOOK) 

ความพิเศษของคอร์ส

1) สรุปเนื้อหาสำคัญ ม.4-ม.6 กระชับ เข้มข้น

2) เทคนิคทำโจทย์ พร้อมตะลุยโจทย์ เห็นทิศทางของข้อสอบออกบ่อย

3) ถาม-ตอบ กับผู้ช่วยส่วนตัว

4) แบบเรียนสรุปเนื้อหา และตะลุยโจทย์ส่งถึงบ้าน ฟรี!!

รายละเอียด คอร์สเรียน

ฟิสิกส์ A-Level
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67 และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566
✅ ติวเข้ม สอนเนื้อหา ม.ปลาย ใหม่ทั้งหมด
✅ เก่งวิเคราะห์เพื่อทำข้อสอบ A-Level สไตล์ใหม่ได้
✅ อัดแน่นเนื้อหา ฟิสิกส์ ม.4 – ม.6 ตามหลักสูตร สสวท. ทั้ง 20 บท
✅ ได้เรียนเนื้อหา ม.6 เทอม 1-2 ในคอร์ส เพิ่มเกรดก็ได้ เตรียมสอบ TCAS ก็ดี
✅ คัดสรรโจทย์ไล่ระดับจากง่ายไปยาก ทำข้อสอบได้ทุกรูปแบบ ทั้ง ฟิสิกส์ A-Level วิชาสามัญ และ PAT2 อัดแน่นจุใจกว่า 2,000 ข้อ พร้อมวิเคราะห์และเฉลยข้อสอบละเอียดทุกข้อ Update ถึงปีล่าสุด
✅ เรียนไม่จำกัดชั่วโมง หนังสือเรียน 5 เล่ม ส่งฟรี! พร้อมระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ตลอด 24 ชั่วโมง ถาม-ตอบกับอาจารย์โดยตรงได้ทันที เหมือนเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ
✅ มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องเรียน คอร์สฟิสิกส์ A-Level นี้จบแล้ว นักเรียนเตรียมสอบ TCAS เข้ามหาวิทยาลัยจะเข้าใจเนื้อหาฟิสิกส์ ม.ปลาย อย่างละเอียด ไม่ว่านักเรียนจะพื้นฐานอ่อนหรือเก่งฟิสิกส์ เทคนิคในคอร์สเรียนฟิสิกส์ของ อ.แชร์ จะช่วยให้นักเรียน เพิ่มคะแนนสอบ ฟิสิกส์ A-Level ได้ถึง 70 up เน้นผลลัพธ์ 100% อัพคะแนนให้ถึงระดับ Top 10% ของประเทศ และสอบติดทุกคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

เคมี A-Level
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67 และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566
ติวเข้ม สอนเนื้อหา ม.ปลาย ใหม่ทั้งหมด
✅ เก่งวิเคราะห์เพื่อทำข้อสอบ A-Level สไตล์ใหม่ได้
✅ อัดแน่นเนื้อหา คมี ม.4 – ม.6 ตามหลักสูตร สสวท. ทั้ง 13 บท
✅ ได้เรียนเนื้อหา ม.6 เทอม 1-2 ในคอร์ส เพิ่มเกรดก็ได้ เตรียมสอบ TCAS ก็ดี
✅ คัดสรรโจทย์ไล่ระดับจากง่ายไปยาก ทำข้อสอบได้ทุกรูปแบบ ทั้ง เคมี A-Level วิชาสามัญ และ ข้อสอบแต่งใหม่ อัดแน่นจุใจกว่า 1,800 ข้อ พร้อมวิเคราะห์และเฉลยข้อสอบละเอียดทุกข้อ Update ถึงปีล่าสุด
✅ เรียนไม่จำกัดชั่วโมง หนังสือเรียน 6 เล่ม ส่งฟรี! พร้อมระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ตลอด 24 ชั่วโมง ถาม-ตอบกับอาจารย์โดยตรงได้ทันที เหมือนเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ
✅ มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องเรียน คอร์สเคมี A-Level นี้จบแล้ว นักเรียนเตรียมสอบ TCAS เข้ามหาวิทยาลัยจะเข้าใจเนื้อหาเคมี ม.ปลาย อย่างละเอียด ไม่ว่านักเรียนจะพื้นฐานอ่อนหรือเก่งเคมี เทคนิคในคอร์สเรียนเคมีของ อ.นัท จะช่วยให้นักเรียน เพิ่มคะแนนสอบ เคมี A-Level ได้ถึง 70 up เน้นผลลัพธ์ 100% อัพคะแนนให้ถึงระดับ Top 10% ของประเทศ และสอบติดทุกคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

เข้าชมคอร์สเรียน

ฟิสิกส์ A-Level
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67 และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566
✅ ติวเข้ม สอนเนื้อหา ม.ปลาย ใหม่ทั้งหมด
✅ เก่งวิเคราะห์เพื่อทำข้อสอบ A-Level สไตล์ใหม่ได้
✅ อัดแน่นเนื้อหา ฟิสิกส์ ม.4 – ม.6 ตามหลักสูตร สสวท. ทั้ง 20 บท
✅ ได้เรียนเนื้อหา ม.6 เทอม 1-2 ในคอร์ส เพิ่มเกรดก็ได้ เตรียมสอบ TCAS ก็ดี
✅ คัดสรรโจทย์ไล่ระดับจากง่ายไปยาก ทำข้อสอบได้ทุกรูปแบบ ทั้ง ฟิสิกส์ A-Level วิชาสามัญ และ PAT2 อัดแน่นจุใจกว่า 2,000 ข้อ พร้อมวิเคราะห์และเฉลยข้อสอบละเอียดทุกข้อ Update ถึงปีล่าสุด
✅ เรียนไม่จำกัดชั่วโมง หนังสือเรียน 5 เล่ม ส่งฟรี! พร้อมระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ตลอด 24 ชั่วโมง ถาม-ตอบกับอาจารย์โดยตรงได้ทันที เหมือนเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ
✅ มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องเรียน คอร์สฟิสิกส์ A-Level นี้จบแล้ว นักเรียนเตรียมสอบ TCAS เข้ามหาวิทยาลัยจะเข้าใจเนื้อหาฟิสิกส์ ม.ปลาย อย่างละเอียด ไม่ว่านักเรียนจะพื้นฐานอ่อนหรือเก่งฟิสิกส์ เทคนิคในคอร์สเรียนฟิสิกส์ของ อ.แชร์ จะช่วยให้นักเรียน เพิ่มคะแนนสอบ ฟิสิกส์ A-Level ได้ถึง 70 up เน้นผลลัพธ์ 100% อัพคะแนนให้ถึงระดับ Top 10% ของประเทศ และสอบติดทุกคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

คณิตศาสตร์ A-Level
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67 และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566
✅ ติวเข้ม สอนเนื้อหา ม.ปลาย ใหม่ทั้งหมด 
✅ เก่งวิเคราะห์เพื่อทำข้อสอบ A-Level สไตล์ใหม่ได้
✅ อัดแน่นเนื้อหา คณิตศาสตร์ ม.4 – ม.6 ครบทุกบท ครบทั้ง เลขหลัก (พื้นฐาน) และเลขเสริม (เพิ่มเติม) ตามหลักสูตร สสวท. ทั้ง 16 บท 
✅ ได้เรียนเนื้อหา ม.6 เทอม 1-2 ในคอร์ส เพิ่มเกรดก็ได้ เตรียมสอบ TCAS ก็ดี
✅ คัดสรรโจทย์ไล่ระดับจากง่ายไปยาก ทำข้อสอบได้ทุกรูปแบบ ทั้ง คณิตศาสตร์ A-Level วิชาสามัญ และ PAT1 อัดแน่นจุใจกว่า 1,600 ข้อ พร้อมวิเคราะห์และเฉลยข้อสอบละเอียดทุกข้อ Update ถึงปีล่าสุด
✅ เรียนไม่จำกัดชั่วโมง หนังสือเรียน 7 เล่ม ส่งฟรี! พร้อมระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ตลอด 24 ชั่วโมง ถาม-ตอบกับอาจารย์โดยตรงได้ทันที เหมือนเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ
✅ มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องเรียน คอร์สคณิตศาสตร์ A-Level นี้จบแล้ว นักเรียนเตรียมสอบ TCAS เข้ามหาวิทยาลัยจะเข้าใจเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อย่างละเอียด ไม่ว่านักเรียนจะพื้นฐานอ่อนหรือเก่งคณิตศาสตร์ เทคนิคในคอร์สเรียนคณิตศาสตร์ของ อ.แชร์, อ.ปิง และ Math Magic ของอ.นอต จะช่วยให้นักเรียน เพิ่มคะแนนสอบ คณิตศาสตร์ A-Level ได้ถึง 70 up เน้นผลลัพธ์ 100% อัพคะแนนให้ถึงระดับ Top 10% ของประเทศ และสอบติดทุกคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

เข้าชมคอร์สเรียน

เคมี A-Level
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67 และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566
ติวเข้ม สอนเนื้อหา ม.ปลาย ใหม่ทั้งหมด
✅ เก่งวิเคราะห์เพื่อทำข้อสอบ A-Level สไตล์ใหม่ได้
✅ อัดแน่นเนื้อหา คมี ม.4 – ม.6 ตามหลักสูตร สสวท. ทั้ง 13 บท
✅ ได้เรียนเนื้อหา ม.6 เทอม 1-2 ในคอร์ส เพิ่มเกรดก็ได้ เตรียมสอบ TCAS ก็ดี
✅ คัดสรรโจทย์ไล่ระดับจากง่ายไปยาก ทำข้อสอบได้ทุกรูปแบบ ทั้ง เคมี A-Level วิชาสามัญ และ ข้อสอบแต่งใหม่ อัดแน่นจุใจกว่า 1,800 ข้อ พร้อมวิเคราะห์และเฉลยข้อสอบละเอียดทุกข้อ Update ถึงปีล่าสุด
✅ เรียนไม่จำกัดชั่วโมง หนังสือเรียน 6 เล่ม ส่งฟรี! พร้อมระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ตลอด 24 ชั่วโมง ถาม-ตอบกับอาจารย์โดยตรงได้ทันที เหมือนเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ
✅ มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องเรียน คอร์สเคมี A-Level นี้จบแล้ว นักเรียนเตรียมสอบ TCAS เข้ามหาวิทยาลัยจะเข้าใจเนื้อหาเคมี ม.ปลาย อย่างละเอียด ไม่ว่านักเรียนจะพื้นฐานอ่อนหรือเก่งเคมี เทคนิคในคอร์สเรียนเคมีของ อ.นัท จะช่วยให้นักเรียน เพิ่มคะแนนสอบ เคมี A-Level ได้ถึง 70 up เน้นผลลัพธ์ 100% อัพคะแนนให้ถึงระดับ Top 10% ของประเทศ และสอบติดทุกคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

คณิตศาสตร์ A-Level
Update ทันที !! เมื่อมีประกาศ เนื้อหาและแนวข้อสอบ Test Blueprint TCAS67 และเฉลยข้อสอบ A-Level ละเอียดทุกข้อล่าสุดถึงปี 2566
✅ ติวเข้ม สอนเนื้อหา ม.ปลาย ใหม่ทั้งหมด 
✅ เก่งวิเคราะห์เพื่อทำข้อสอบ A-Level สไตล์ใหม่ได้
✅ อัดแน่นเนื้อหา คณิตศาสตร์ ม.4 – ม.6 ครบทุกบท ครบทั้ง เลขหลัก (พื้นฐาน) และเลขเสริม (เพิ่มเติม) ตามหลักสูตร สสวท. ทั้ง 16 บท 
✅ ได้เรียนเนื้อหา ม.6 เทอม 1-2 ในคอร์ส เพิ่มเกรดก็ได้ เตรียมสอบ TCAS ก็ดี
✅ คัดสรรโจทย์ไล่ระดับจากง่ายไปยาก ทำข้อสอบได้ทุกรูปแบบ ทั้ง คณิตศาสตร์ A-Level วิชาสามัญ และ PAT1 อัดแน่นจุใจกว่า 1,600 ข้อ พร้อมวิเคราะห์และเฉลยข้อสอบละเอียดทุกข้อ Update ถึงปีล่าสุด
✅ เรียนไม่จำกัดชั่วโมง หนังสือเรียน 7 เล่ม ส่งฟรี! พร้อมระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว ตลอด 24 ชั่วโมง ถาม-ตอบกับอาจารย์โดยตรงได้ทันที เหมือนเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ
✅ มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องเรียน คอร์สคณิตศาสตร์ A-Level นี้จบแล้ว นักเรียนเตรียมสอบ TCAS เข้ามหาวิทยาลัยจะเข้าใจเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อย่างละเอียด ไม่ว่านักเรียนจะพื้นฐานอ่อนหรือเก่งคณิตศาสตร์ เทคนิคในคอร์สเรียนคณิตศาสตร์ของ อ.แชร์, อ.ปิง และ Math Magic ของอ.นอต จะช่วยให้นักเรียน เพิ่มคะแนนสอบ คณิตศาสตร์ A-Level ได้ถึง 70 up เน้นผลลัพธ์ 100% อัพคะแนนให้ถึงระดับ Top 10% ของประเทศ และสอบติดทุกคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

เข้าชมคอร์สเรียน

Video ตัวอย่าง

ฟิสิกส์ A-Level

25 Videos
Play Video

เคมี A-Level เคมี

18 Videos
Play Video