TCAS67 MATH EXAM BLUEPRINT ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ หน้าตาจะเป็นยังไง มาลองดูกัน!

PANYA SOCIETY

มาดูกัน! TCAS67 Math A-Level Exam Blueprint

TCAS67 EXAM BLUEPRINT

น้อง ๆ ทุกคนคงเห็นแล้วว่ารูปแบบการสอบ TCAS67 จะมีกำหนดการ และการเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางใด และก็ได้มีความเคลื่อนไหวจากทางที่ประชุมอธิการบดีแห่งประเทศไทย (ทปอ.) อีกครั้ง ผ่านทางเว็บไซต์ Mytcas.com ซึ่งเป็นการ Update เกี่ยวกับ Exam Blueprint ของข้อสอบ TGAT TPAT และ A-Level ซึ่งพี่ Panya Society จะมาสรุป วิเคราะห์ และเปรียบเทียบกับปีก่อน ๆ ให้น้องๆฟังกันครับ จะเป็นยังไงลองมาดูกันเลย…

โดยวันนี้พี่ Panya Society ขอนำเสนอวิชาคณิตศาสตร์ครับ งั้นเรามาดูกันอย่างละเอียดดีกว่าว่าน้อง ๆ #Dek67 ทุกคน จะต้องเจอกับเนื้อหาอะไรบ้าง แล้วมีโครงสร้างข้อสอบเป็นอย่างไร

A-Level วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ 1

สำหรับข้อสอบคณิตศาสตร์ปีนี้ น้อง ๆ ทุกคนจะพบเจอเนื้อหาของวิชาคณิตศาสตร์ได้ในข้อสอบ A-Level รหัส 61 ตัวย่อ Math1 วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 ซึ่ง ณ ปัจจุบัน TCAS67 ทาง ทปอ. ได้ปล่อย Exam Blueprint มาเป็นที่เรียบร้อยแล้ว

คราวนี้เราลองมาดูกันดีกว่าว่า Exam Blueprint ของ A-Level วิชาคณิตศาสตร์ 1 นั้นน้อง ๆ จะต้องเจอกับเนื้อหาอะไรบ้าง

A-Level วิชาคณิตศาสตร์ 1 จำนวนข้อทั้งหมด 30 ข้อ* คะแนนเต็ม 100 คะแนน ระยะเวลาสอบ 90 นาที (*ปรนัย 5 ตัวเลือก 25 ข้อ 75 คะแนน / อัตนัย(ระบายคำตอบที่เป็นค่า/ตัวเลข) 5 ข้อ 25 คะแนน)

  • สาระจำนวนและพีชคณิต (15 – 17 ข้อ)
    • เซต
    • ตรรกศาสตร์
    • จำนวนจริงและพหุนาม
    • ฟังก์ชัน
    • ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
    • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
    • จํานวนเชิงซ้อน
    • เมทริกซ์
    • ลําดับและอนุกรม
  • สาระการวัดและเรขาคณิต (3 – 5 ข้อ)
    • เรขาคณิตวิเคราะห์
    • เวกเตอร์ในสามมิติ
  • สาระสถิติและความน่าจะเป็น (6 – 8 ข้อ)
    • สถิติ
    • การแจกแจงความน่าจะเป็นเบื้องต้น
    • หลักการนับเบื้องต้น
    • ความน่าจะเป็น
  • สาระแคลคูลัส (2 – 4 ข้อ)
    • แคลคูลัสเบื้องต้น

คราวนี้เราลองจัดกลุ่มเนื้อหาแต่ละระดับชั้น และเปรียบเทียบกับข้อสอบคณิตศาสตร์ วิชาสามัญปี 2565 และข้อสอบ A – Level 66 กันดูครับ

ชื่อบทระดับชั้นสามัญ ปี 2565A – Level MATH1 ปี 2566A – Level MATH1 ปี 2567
เซตม.4 เทอม 116 ข้อ16 ข้อ15 – 17 ข้อ
ตรรกศาสตร์
จำนวนจริง
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันม.4 เทอม 2
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติม.5 เทอม 1
เมทริกซ์
จำนวนเชิงซ้อนม.5 เทอม 2
ลำดับและอนุกรมม.6 เทอม 1
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวยม.4 เทอม 24 ข้อ4 ข้อ3 – 5 ข้อ
เวกเตอร์ม.5 เทอม 1
หลักการนับเบื้องต้นม.5 เทอม 27 ข้อ7 ข้อ6 – 8 ข้อ
ความน่าจะเป็น
ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล (สถิติ)ม.6 เทอม 2
การวิเคราะห์และนำเสนอขอมูลเชิงคุณภาพ (สถิติ)
การวิเคราะห์และนำเสนอขอมูลเชิงปริมาณ (สถิติ)
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
แคลคูลัสเบื้องต้นม.6 เทอม 13 ข้อ3 ข้อ2 – 4 ข้อ

จากตารางข้างบนน้องๆคงเห็นแล้วว่าขอบเขตเนื้อหาและจำนวนข้อสอบเป็นอย่างไร คราวนี้พี่ Panya Society เลยจะขอลองยกตัวอย่างข้อสอบ คณิตศาสตร์ A – Level ปี 66 ที่พี่นอตแห่ง Panya Society ได้เฉลยไว้มาให้น้อง ๆ ได้ทดลองดูและทดลองทำ เพื่อเป็นแนวทางกันดูครับ

ตัวอย่างข้อสอบ คณิตศาสตร์ A – Level ปี 66

บทสรุป

เป็นยังไงกันบ้างครับสำหรับ Exam Blueprint ของข้อสอบ TCAS67 A-Level Math ที่กำลังจะมาถึง น้อง ๆ #Dek67 ที่ได้อ่านบทความนี้ไปพี่ Panya Society หวังว่าน้องๆ คงจะได้แนวทางในการเตรียมตัวรับมือกับการเปลี่ยนแปลงของข้อสอบที่จะเกิดขึ้นในปีนี้กันแล้ว ซึ่งถ้าหากหลังจากนี้ทาง ทปอ. มีการ Update Exam Blueprint วิชาอื่น ๆ พี่ Panya Society ก็จะรีบนำมา Update และวิเคราะห์ให้น้อง ๆ เพิ่มเติมอย่างแน่นอน ขอให้น้อง ๆ ติดตามเพจ Panya Society กันไว้ได้เลย 🙂

และจาก Exam Blueprint ของวิชาคณิตศาสตร์ น้อง ๆ คงเห็นแล้วว่าเนื้อหากว่าครึ่งเป็นเนื้อหาของช่วงระดับชั้น ม.4 ถึง ม.5 ทำให้น้องๆ ม.6 #Dek67 ที่กำลังจะเตรียมสอบ TCAS67 อาจจะมีการหลงลืมเนื้อหาไปบ้างแล้ว รวมไปถึงใครที่ต้องการปูพื้นฐานสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมปลายทั้ง 6 เทอม พี่ Panya Society จึงขอแนะนำคอร์ส Pack คณิตศาสตร์ A – Level (พื้นฐาน+เพิ่มเติม 293 ชม.) เพื่อให้น้องๆทุกคนที่สนใจในการปูพื้นฐานสำหรับติวสอบ A-Level โดยพี่ปิง พี่แชร์ และ พี่นอต จะมาช่วยน้อง ๆ ทุกคนทบทวนเนื้อหา รวมถึงฝึกทำโจทย์ต่าง ๆ เพื่อให้น้อง ๆ ทุกคนพร้อมสำหรับการสอบ A-Level ที่จะมาถึง

ส่วนน้อง ๆ คนไหนที่ต้องการเตรียมตัวสอบ TCAS67 วิชาอื่นๆ พี่ Panya Society ก็ยังมีคอร์ส TCAS67 ทั้ง 6 วิชาจาก PANYA SOCIETY” ซึ่งเป็นคอร์ส เตรียมตัวสอบ TCAS67 ฉบับสมบูรณ์แบบ ที่ Update ล่าสุด ได้ทั้งทบทวนเนื้อหา ม.4-5-6 ไปพร้อมกับเก็งข้อสอบแนวรูปแบบใหม่ ฝึกทำข้อสอบเพียบ ทบทวนเต็มที่ เก็งข้อสอบแม่นยำ พร้อมทำโจทย์แนวใหม่ ไม่ตกเทรนด์ พร้อมกับโค้ชผู้ช่วยส่วนตัวที่ถาม-ตอบได้ตลอด 24 ชั่วโมง

ไร้กังวล ติวกับ PANYA SOCIETY ข้อสอบ TCAS67 จะเปลี่ยนไปแค่ไหน พี่ ๆ จะตามติดพัฒนาคอร์สไปพร้อมกับ Exam Blueprint ใหม่ล่าสุด ไม่พลาดแน่นอน!!!

VDO ตัวอย่างการสอน

🔥ติวเตอร์คนเก่ง🔥

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด โดย PANYA Society

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คอร์สสอบติด พิชิตคณะวิศวะ

👷🏽 เตรียมสอบเข้า วิศวะ

แผนการเตรียมตัว สู่เส้นทางสายวิศวะ

สำหรับการสอบเข้าคณะวิศวกรรมศาสตร์มีข้อสอบที่ต้องสอบหลักๆคือ ข้อสอบ A-Level วิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และเคมีในบางสาขา ข้อสอบ TGAT และที่สำคัญที่สุดคือ ข้อสอบ TPAT3 

          โดยในการเตรียมตัวนั้น ควรเริ่มจากการเตรียม A-Level คณิต, ฟิสิกส์, เคมี ก่อน เนื่องจากเป็นวิชาเน้นการคำนวณและมีเนื้อหาเยอะ ต้องใช้เวลาในการฝึกมาก จากนั้นค่อยเริ่มเตรียม TGAT และ TPAT3 เพื่อให้ทันสอบในช่วงเดือน ธ.ค. โดยในระหว่างนี้อาจสลับมาเตรียม A-Level ต่อบ้างเพื่อไม่ให้ขาดตอน เมื่อสอบ TGAT TPAT3 เสร็จในเดือน ธ.ค. ก็ควรมาเร่งเก็บเนื้อหาของ        A-Level ให้ครบทุกวิชา ในเดือน ม.ค. ควรตะลุยโจทย์เพื่อฝึกฝีมือในการทำคะแนน หากต้องการเทคนิคที่ดี ขอแนะนำคอร์ส UpScore ที่จะช่วยทำคะแนนได้เร็ว

SUCCESS รีวิวจากนักเรียนคนเก่ง ก้าวสู่คณะในฝัน 🏆

ทำความรู้จัก ทีมสอน

Panya Society "ให้มากกว่า"

อายุคอร์ส 12 เดือน
เตรียมตัวได้ยาว

ทบทวนซ้ำได้
ไม่จำกัดชั่วโมง

หนังสือเรียน
ส่งถึงบ้านฟรี

บริการตอบคำถาม
ใน 24 ชั่วโมง

VDO ตัวอย่างการสอน

ฟิสิกส์ A-Level

27 Videos

ฟิสิกส์ TPAT3

17 Videos

คอร์สสอบติด พิชิตคณะในฝัน

พบกับคอร์สติวออนไลน์ สอนโดยทีมสอนคุณภาพ เนื้อหาเข้มข้น แนวโจทย์ครบครัน
พร้อมเทคนิคในการเพิ่มคะแนนสอบแบบจัดเต็ม
ตอบโจทย์ทั้งการสอบ A-Level TGAT TPAT เพื่อปูทางเข้าสู่คณะและมหาวิทยาลัยในฝัน

👩🏻‍🎓 เตรียมตัวให้พร้อม สู่เส้นทางที่ใช่ 🧑🏻‍🎓

SUCCESS รีวิวจากนักเรียนคนเก่ง ก้าวสู่คณะในฝัน 🏆

⚙️ สายวิศวะ 👷🏻‍♂️

เตรียมฟิตให้พร้อมกว่าใคร กับคอร์สติวออนไลน์คุณภาพที่ตอบทุกเป้าหมาย ครอบคลุมทุกข้อสอบสำหรับเข้าวิศวะ ทั้ง TPAT3 ฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ เคมี และภาษาอังกฤษ เข้มทุกเนื้อหา ครบทุกเทคนิค เตรียมครั้งเดียวยื่นได้หลายสาขา

คอร์สแนะนำ

🩺 สายวิทย์สุขภาพ 👩🏻‍⚕️

เพราะสายวิทย์สุขภาพ ต้องเตรียมตัวมากกว่าใคร การ Focus เตรียมสอบให้ตรงจุดจึงสำคัญที่สุด พบกับคอร์สเรียนที่มีให้เลือกหลากหลายทั้ง TPAT1 ความถนัดแพทย์ ฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ เคมี ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย และ สังคม ช่วยทำคะแนนในเวลาสั้นๆ

คอร์สแนะนำ

💰 สายบัญชี บริหาร เศรษฐศาสตร์ 👩🏽‍💻

เตรียมตัวให้พร้อมสำหรับการสอบเข้าคณะสายสายบัญชี บริหาร เศรษฐศาสตร์ พบกับคอร์สติว คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย และสังคม ตอบโจทย์ทั้ง TGAT และ A-Level ให้ช่วยเก็บคะแนนสอบได้อย่างตรงจุดช่วยทำคะแนนในเวลาสั้นๆ

คอร์สแนะนำ

ติวเตอร์คนเก่ง

Video ตัวอย่าง

ฟิสิกส์ เคมี คณิต A-Level

32 Videos

วางแผนอ่านหนังสือ TCAS67 วิชาคณิตศาสตร์เน้นบทไหนดี #DEK67

PANYA SOCIETY

วางแผนอ่านหนังสือ TCAS67 วิชาคณิตศาสตร์เน้นบทไหนดี #DEK67

วางแผนอ่านหนังสือ TCAS67 วิชาคณิตศาสตร์เน้นบทไหนดี #DEK67

วางแผนอ่านหนังสือวิชาคณิตศาสตร์

สวัสดีครับน้อง ๆ #Dek67 ทุกคน วันนี้พี่ Panya Society กลับมาอีกครั้งพร้อมบทความที่เกี่ยวกับ TCAS67 นะครับ หลังจากที่เราคนหาตัวตนเจอแล้วว่าอยากเข้าคณะอะไร เราก็จะมาวางแผนอ่านหนังสือ TCAS67 กันต่อเลย วันนี้พี่ Panya Society จะมาแนะนำแผนการอ่านหนังสือวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อช่วยน้อง ๆ #Dek67 อ่านหนังสือได้ดีขึ้น ขอบอกเลยว่า #Dek67 ที่กำลังเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยทุกคน จำเป็นวางแผนอ่านหนังสือให้ดี เพื่อให้ไม่รู้สึกว่าอ่านหนักเกินไป และพร้อมสอบมากยิ่งขึ้น ถ้าพร้อมแล้ว เริ่ม!!!

สถิติออกสอบ A - Level คณิตศาสตร์ 1

ในการวางแผนอ่านหนังสือนั้น เราควรจะต้องรู้ว่าควรจะเน้นไปที่บทไหน วันนี้พี่ Panya Society จึงจะพาน้อง ๆ #Dek67 มาดูสถิติออกสอบ A – Level คณิตศาสตร์ 1 ปี 66 ว่าบทไหนออกเยอะหรือออกน้อยบ้าง เพื่อเป็นแนวทางในการเตรียมสอบ TCAS67 ดังนี้ 

บทที่ออก 3 ข้อ ควรเน้นมาก ๆ คือ

  • ลำดับและอนุกรม
  • แคลคูลัสเบื้องต้น

บทที่ออก 2 ข้อ ควรเน้นปานกลาง คือ

  • เซต
  • ตรรกศาสตร์
  • ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
  • เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
  • เวกเตอร์
  • จำนวนเชิงซ้อน
  • หลักการนับเบื้องต้น
  • สถิติ
  • ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

บทที่ออก 1 ข้อ ควรเน้นไม่มาก คือ

  • จำนวนจริง
  • ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
  • เมทริกซ์
  • ความน่าจะเป็น

มาถึงตรงนี้ น้อง ๆ #Dek67 คงจะเห็นแล้วว่า บทไหนควรเน้นหรือไม่ควรเน้น แต่พี่ Panya Society ขอเตือนไว้ก่อนเลยว่า ถึงบางบทจะออกน้อย แต่ก็เป็นพื้นฐานในการนำไปใช้ต่อในบทอื่น ๆ ดังนั้น ถ้าเป็นไปได้ก็ควรเก็บเนื้อหาให้ได้ครบทุกบทนะครับ

คำนวณเวลาที่ต้องใช้อ่านทั้งหมด

ก่อนที่เราเริ่มอ่าน เรามาดูกันก่อนว่า วิชาคณิตศาสตร์มีเนื้อหาอะไรบ้าง และแต่ละบทจะต้องใช้เวลาอ่านมากหรือน้อยอย่างไร เพื่อจะได้วางแผนการอ่านได้ง่ายขึ้น

บทที่ 1 : เซต

จะเรียนเกี่ยวกับการจัดกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ หรือตัวเลขที่เราสนใจ ถือเป็นพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์อีกหลาย ๆ บท

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 12 ชั่วโมง

บทที่ 2 : ตรรกศาสตร์

จะเรียนเกี่ยวกับการให้เหตุผล หาค่าความจริง และหาข้อสรุปของประโยคต่าง ๆ เป็นบทที่นำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้ดี

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 14 ชั่วโมง

บทที่ 3 : จำนวนจริง

จะเรียนเกี่ยวกับการจำแนกประเภทของตัวเลข สมบัติและการดำเนินการต่าง ๆ กับตัวเลขและพหุนาม เป็นอีกหนึ่งบทที่เป็นพื้นฐานสำคัญของอีกหลาย ๆ บท

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 12 ชั่วโมง

บทที่ 4 : ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

จะเรียนเกี่ยวกับการดูความสัมพันธ์ของเซต 2 เซต พิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ รวมไปถึงการดำเนินการต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง เป็นบทที่เป็นพื้นฐานสำคัญของคณิตศาสตร์อีกเช่นกัน

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  เซต

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 30 ชั่วโมง

บทที่ 5 : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

จะเรียนเกี่ยวกับเลขยกกำลัง และได้รู้จักกับลอการิทึม ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันอีกด้วย

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  จำนวนจริง, ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 25 ชั่วโมง

บทที่ 6 : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

จะเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์กราฟลักษณะต่าง ๆ ทั้งเส้นตรงและเส้นโค้ง และได้รู้สมการของกราฟนั้น ๆ อีกด้วย 

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  จำนวนจริง

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 35 ชั่วโมง

บทที่ 7 : ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จะเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และกำหนดฟังก์ชันใหม่ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนของความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก รวมถึงนำฟังก์ชันนั้นไปประยุกต์ใช้ 

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี :  จำนวนจริง, ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน, เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 14 ชั่วโมง

บทที่ 8 : เมทริกซ์

จะเรียนเกี่ยวกับการจัดรูปแบบการคิดแบบใหม่ มีประโยชน์ในการนำไปแก้ระบบสมการได้ 

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 18 ชั่วโมง

บทที่ 9 : เวกเตอร์

จะเรียนเกี่ยวกับปริมาณรูปแบบใหม่ที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ซึ่งนำมาช่วยในการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงต่าง ๆ ได้ 

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : เมทริกซ์, เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 5 ชั่วโมง

บทที่ 10 : จำนวนเชิงซ้อน

จะเรียนเกี่ยวกับจำนวนที่อาจหาค่าออกมาเป็นจำนวนจริงตรง ๆ ไม่ได้ แต่หากนำมาดำเนินการกันแล้ว อาจได้ค่าเป็นจำนวนจริง

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : จำนวนจริง, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 12 ชั่วโมง

บทที่ 11 : หลักการนับเบื้องต้น

จะเรียนเกี่ยวกับวิธีการนับจำนวนต่าง ๆ ที่อาจมีได้หลายกรณี ให้นับได้ง่ายและรวดเร็วที่สุด

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 10 ชั่วโมง

บทที่ 12 : ความน่าจะเป็น

จะเรียนเกี่ยวกับการหาความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เราสนใจ

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : หลักการนับเบื้องต้น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 4 ชั่วโมง

บทที่ 13 : ลำดับและอนุกรม

จะเรียนเกี่ยวกับการมองตัวเลขให้เป็นลำดับต่าง ๆ และการหาผลรวมของตัวเลขในลำดับนั้น ๆ และยังนำไปประยุกต์ใช้ในการคิดดอกเบี้ยทบต้นได้อีกด้วย

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 24 ชั่วโมง

บทที่ 14 : แคลคูลัสเบื้องต้น

จะเรียนเกี่ยวกับการดูความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ดูอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันต่าง ๆ รวมไปถึงการหาฟังก์ชันจากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ให้มาอีกด้วย

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 30 ชั่วโมง

บทที่ 15 : สถิติ

จะเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์ข้อมูลต่าง ๆ หาค่าที่จะเป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนั้น ๆ และทำความเข้าใจลักษณะของข้อมูล เป็นอีกหนึ่งบทที่มีประโยชน์มาก ๆ ในชีวิตประจำวัน

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : ไม่ต้องมีพื้นฐานบทอื่น

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 35 ชั่วโมง

บทที่ 16 : ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

จะเรียนเกี่ยวกับการมองข้อมูลในอีกรูปแบบหนึ่ง และดูความน่าจะเป็นที่ได้ข้อมูลค่าหนึ่ง เมื่อสุ่มหยิบข้อมูลออกมา

พื้นฐานบทอื่นที่ต้องมี : ความน่าจะเป็น, สถิติ

เวลาที่ควรใช้อ่าน : ประมาณ 10 ชั่วโมง

มาถึงจุดนี้น้อง ๆ #Dek67 ก็จะได้รู้แล้วว่า วิชาคณิตศาสตร์ ทั้ง 16 บทนี้ เรียนเกี่ยวกับอะไรโดยคร่าว ๆ และจุดที่พี่ Panya Society อยากให้น้องสนใจมากที่สุด ก็คือ เวลาที่ควรใช้อ่าน ซึ่งทั้ง 16 บทนี้ ใช้เวลาอ่านรวมทั้งหมดประมาณ 290 ชั่วโมง

วางแผนการเก็บคะแนน

จากผลคะแนน TCAS ของปีที่ผ่านมา จะเห็นว่าบางคณะต้องได้คะแนน TCAS สูงมาก ๆ จึงจะสอบติด และวิชาคณิตศาสตร์ก็ถือเป็นวิชาสำคัญที่หลาย ๆ คณะเลือกใช้เป็นเกณฑ์ในการคิดคะแนน และ A – Level คณิตศาสตร์ ก็มีสัดส่วนคะแนนค่อนข้างสูงในหลาย ๆ คณะ ดังนั้น น้อง ๆ  ควรตั้งเป้าหมายให้ได้ 70 คะแนนขึ้นไป เพื่อให้มั่นใจว่า จะสามารถเข้าคณะที่ต้องการได้อย่างแน่นอน

พี่ Panya Society ขอแบ่งวิชาคณิตศาสตร์ ออกเป็น 4 กลุ่ม เพื่อให้น้อง ๆ ที่มีความถนัดในกลุ่มเนื้อหาต่าง ๆ ได้เลือกอ่านตามความถนัดของน้อง ๆ ดังนี้

1. บทพื้นฐาน

เป็นบทที่ไม่ได้ยากมาก และแนะนำให้น้อง ๆ ทุกคนควรเก็บคะแนนให้ได้ ดังนี้

1) เซต : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

2) ตรรกศาสตร์ : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

รวม ออกสอบ 4 ข้อ คิดเป็น 12 คะแนน ใช้เวลาอ่านประมาณ 26 ชั่วโมง

2. พีชคณิต

เป็นเนื้อหาที่เหมาะกับน้อง ๆ ที่ถนัดในการคำนวนตัวเลข แก้สมการต่าง ๆ และครอบคลุมเนื้อหาส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ จึงควรเก็บคะแนนในส่วนนี้ให้ได้เช่นกัน ได้แก่

1) จำนวนจริง : ออกสอบ 1 ข้อ คิดเป็น 3 คะแนน

2) ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน : ออกสอบ 1 ข้อ คิดเป็น 3 คะแนน

3) ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

4) จำนวนเชิงซ้อน : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

5) ลำดับและอนุกรม : ออกสอบ 3 ข้อ คิดเป็น 9 คะแนน

6) แคลคูลัสเบื้องต้น : ออกสอบ 3 ข้อ คิดเป็น 9 คะแนน

รวม ออกสอบ 12 ข้อ คิดเป็น 36 คะแนน ใช้เวลาอ่านประมาณ 133 ชั่วโมง

3. เรขาคณิต

เป็นเนื้อหาที่เหมาะกับน้อง ๆ ที่ถนัดในการมองรูปภาพและกราฟต่าง ๆ ได้แก่

1) เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

2) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

3) เมทริกซ์ : ออกสอบ 1 ข้อ คิดเป็น 3 คะแนน

4) เวกเตอร์ : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

รวม ออกสอบ 7 ข้อ คิดเป็น 21 คะแนน ใช้เวลาอ่านประมาณ 72 ชั่วโมง


4. ความน่าจะเป็น และสถิติ

เป็นเนื้อหาที่เหมาะกับน้อง ๆ ที่ถนัดในการนับจำนวนเหตุการณ์ต่าง ๆ และถนัดในการวิเคราะห์ข้อมูล ได้แก่

1) หลักการนับเบื้องต้น : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

2) ความน่าจะเป็น : ออกสอบ 1 ข้อ คิดเป็น 3 คะแนน

3) สถิติ : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

4) ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น : ออกสอบ 2 ข้อ คิดเป็น 6 คะแนน

รวม ออกสอบ 7 ข้อ คิดเป็น 21 คะแนน ใช้เวลาอ่านประมาณ 59 ชั่วโมง

จาก 4 กลุ่มวิชานี้ น้อง ๆ ควรเลือกอ่าน

  • บทพื้นฐาน
  • พีชคณิต
  • เลือกอ่าน เรขาคณิต หรือ ความน่าจะเป็นและสถิติ ตามความถนัดของน้อง ๆ

เพียงเท่านี้ก็จะได้คะแนนประมาณ 70 คะแนน ได้ไม่ยากมาก 

และหากยังมีเวลาเหลือก็ควรอ่านอีกกลุ่มเนื้อหาที่เหลือไปด้วย เพื่อให้ได้คะแนนเพิ่มขึ้นไปอีกครับ

วางแผนแบ่งเวลาอ่านคณิตศาสตร์

สำหรับน้อง ๆ #Dek67 พี่ Panya Society อยากให้น้อง ๆ เผื่อเวลาไว้ฝึกทำข้อสอบจริง อย่างน้อย 2 สัปดาห์ก่อนสอบ ดังนั้น น้อง ๆ จะมีเวลาเก็บเนื้อหาทั้งหมดถึงสิ้นเดือน กุมภาพันธ์ 67 เท่านั้น

เราได้รู้แล้วว่า ควรต้องใช้เวลาอ่านเนื้อหาคณิตศาสตร์ทั้งหมดประมาณ 290 ชั่วโมง ซึ่งจริง ๆ แล้ว เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้มีเยอะมาก แต่ที่ต้องใช้เวลาในการอ่านเยอะ เพราะต้องฝึกทำแบบฝึกหัดเยอะ ๆ นั่นเองครับ

การแบ่งเวลาอ่านหนังสือในแต่ละวัน จึงขึ้นอยู่กับว่า น้องเหลือเวลาอ่านอีกกี่วัน

เริ่มอ่านเดือน มิถุนายน (ช่วงเปิดเทอม 1)

เหลือเวลาอ่าน : 9 เดือน

เนื้อหาที่ควรอ่าน : ทุกบท

ควรอ่านวันละ : 1 ชั่วโมง

เริ่มอ่านเดือน ตุลาคม (ช่วงปิดเทอมเล็ก)

เหลือเวลาอ่าน : 5 เดือน

เนื้อหาที่ควรอ่าน : ทุกบท

ควรอ่านวันละ : 2 ชั่วโมง


เริ่มอ่านเดือน ธันวาคม

เหลือเวลาอ่าน : 3 เดือน

เนื้อหาที่ควรอ่าน : อ่าน 3 กลุ่มเนื้อหาที่ถนัด

ควรอ่านวันละ : 3 ชั่วโมง


เริ่มอ่านเดือน มกราคม 

เหลือเวลาอ่าน : 2 เดือน

เนื้อหาที่ควรอ่าน : อ่าน 3 กลุ่มเนื้อหาที่ถนัด

ควรอ่านวันละ : 4 ชั่วโมง

พี่ Panya Society ไม่แนะนำให้น้อง ๆ อ่านเกินวันละ 4 ชั่วโมง เพราะอาจทำให้สมองล้า และอ่านได้อย่างไม่มีประสิทธิภาพ ควรเริ่มอ่านให้เร็วที่สุด เพื่อให้ได้ทยอยอ่านวันละนิด ไม่หักโหมมาก และลดความกดดันในการอ่านได้อีกด้วย

พูดคุยหลังอ่าน

เป็นยังไงกันบ้างครับ #Dek67 ทุกคน หวังว่าพี่ ๆ Panya Society จะช่วยให้น้อง ๆ ได้วางแผนในการอ่านหนังสือวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้น้อง ๆ ได้คะแนนตามที่หวังกันนะครับ แต่พี่ ๆ ต้องขอบอกไว้ก่อนว่าแผนการอ่านหนังสือนี้ สามารถปรับเปลี่ยนได้ตามความถนัดของน้อง ๆ เอง และสำหรับน้อง ๆ คนที่ต้องเตรียมตัวสอบหลายวิชา อย่าลืมวางแผนเผื่อเวลาไว้สำหรับวิชาอื่นกันด้วยนะครับ

หลังจากน้อง ๆ ทุกคนได้วางแผนการอ่านคณิตศาสตร์ สำหรับ TCAS67 นี้หวังว่าจะช่วยให้น้อง ๆ อ่านหนังสือได้ง่ายขึ้น และจะเห็นว่าหลายคณะ ต้องใช้คะแนนสอบค่อนข้างสูง น้อง ๆ ทุกคนควรจะรีบเตรียมตัวตั้งแต่วันนี้ ดังนั้น พี่ PANYA ขอแนะนำคอร์ส “คณิตศาสตร์ A – Level TCAS67 จาก PANYA SOCIETY” ซึ่งเป็นคอร์ส เตรียมตัวสอบ TCAS67 ฉบับสมบูรณ์แบบ ที่ Update ล่าสุด ได้ทั้งทบทวนเนื้อหา ม.4-5-6 ไปพร้อมกับเก็งข้อสอบแนวรูปแบบใหม่ ฝึกทำข้อสอบเพียบ ทบทวนเต็มที่ เก็งข้อสอบแม่นยำ พร้อมทำโจทย์แนวใหม่ ไม่ตกเทรนด์ พร้อมกับโค้ชผู้ช่วยส่วนตัวที่ถาม-ตอบได้ตลอด 24 ชั่วโมง

ไร้กังวล ติวกับ PANYA SOCIETY ข้อสอบ TCAS67 จะเปลี่ยนไปแค่ไหน พี่ ๆ จะตามติดพัฒนาคอร์สไปพร้อมกับ Test Blueprint ใหม่ล่าสุด ไม่พลาดแน่นอน!!!

VDO ตัวอย่างการสอน

🔥ติวเตอร์คนเก่ง🔥

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คณิตศาสตร์ ม.5 – เวกเตอร์

PANYA SOCIETY

เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 3 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เวกเตอร์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “เวกเตอร์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เวกเตอร์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เวกเตอร์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 
  • เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
  • ผลคูณเชิงสเกลาร์ 
  • ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 

เวกเตอร์

เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
เช่น การบอกทางให้คนเดินไป ถ้าบอกแค่ว่า เดินไป 10 ก้าว จะยังไม่รู้ว่าต้องเดินไปทางไหน ต้องบอกว่า เดินไปในทิศทางไหนด้วย

เนื่องจากเวกเตอร์เป็นปริมาณที่บอกขนาดและทิศทางเท่านั้น ไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเริ่มจากจุดใดและไปจบที่จุดใด
ดังนั้นเราสามารถเลื่อนเวกเตอร์ได้ แต่ต้องไม่เปลี่ยนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์นั้น

เช่น พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้ว่า

เมื่อมีเวกเตอร์หนึ่งที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ u แต่มีทิศตรงข้ามกัน จะเรียกเวกเตอร์นั้นว่า -u


การบวกเวกเตอร์

* การลบเวกเตอร์ u – v จะหาได้จาก v + (-u)


การคูณด้วยสเกลาร์

การคูณค่าคงที่ c กับเวกเตอร์หนึ่ง จะทำให้ขนาดของเวกเตอร์นั้นเพิ่มขึ้นเป็น c เท่า
– ถ้า c เป็นบวก เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางเดิม
– ถ้า c เป็นลบ เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางตรงกันข้าม
เช่น


สมบัติการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

ให้ u เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุด x1, y1, z1 ไปยัง x2, y2, z2 ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังรูป

จะสามารถเขียนเวกเตอร์ในรูปคู่อันดับ ได้ดังนี้

(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

หรือสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์หลัก ได้ดังนี้


ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์ ก็คือ ความยาวของเวกเตอร์นั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง
ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วย |u|

เมื่อเวกเตอร์ u = (a, b, c) จะสามารถหาขนาดของเวกเตอร์ ได้จาก


เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

จะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ u ได้จาก

ผลคูณเชิงสเกลาร์

สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

การประยุกต์ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า “เวกเตอร์” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “เมทริกซ์” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “เมทริกซ์” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในเทอมต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ ม.5 เทอม 2 มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

ตัวอย่างบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ

1 Videos

บทที่ 2 เมทริกซ์

กลับหน้าบทความหลัก

ตัวอย่างการสอน โดยพี่ปิง

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

SHARE:

คณิตศาสตร์ ม.5 – เมทริกซ์

PANYA SOCIETY

เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 2 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เมทริกซ์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 1 – 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “เมทริกซ์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เมทริกซ์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เมทริกซ์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • ระบบสมการเชิงเส้น
  • เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์
  • ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์
  • การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์
  • ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์
  • ตัวผกผันของเมทริกซ์
  • การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือ สมการที่ตัวแปรทุกตัวมีเลขยกกำลังเป็น 1

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถแก้สมการได้ตามปกติ
เช่น    2x + 1 = 5
            2x = 4
              x = 2

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 2 สมการ
เช่น    x + 3y = 8    เป็นสมการที่ (1)
        x – 2y = 3    เป็นสมการที่ (2)

คูณแต่ละสมการด้วยค่าคงที่ แล้วนำมาบวกลบกัน เพื่อกำจัด 1 ตัวแปร
       นำ (1) – (2) :     x + 3y – (x – 2y) = 8 – 3
                                            5y = 5
                                              y = 1
       แทน y = 1 ใน (1) :           x + 3(1) = 8
                                              x = 5

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 3 สมการ
เช่น    ระบบสมการ
                                     x + y + z = 2    เป็นสมการที่ (1)
                                     x + y – z = 4    เป็นสมการที่ (2)
                                   x + 2y + z = 4    เป็นสมการที่ (3)

นำ (1) – (2) :                              2z = -2
                                              z = -1
แทน z = -1 ใน (1) :               x + y – 1 = 2
                                         x + y = 3     เป็นสมการที่ (4)
แทน z = -1 ใน (2) :               x + y + 1 = 4
                                         x + y = 3
แทน z = -1 ใน (3) :             x + 2y – 1 = 4
                                       x + 2y = 5      เป็นสมการที่ (5)
นำ 2×(4) – (5) :       2x + 2y – (x + 2y) = 6 – 5
                                              x = 1
แทน x = 1 ใน (4) :                    1 + y = 3
                                             y = 2
ดังนั้น x = 1, y = 2, z = -1

เนื่องจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร คือ สมการเส้นตรง จึงอาจหาคำตอบของระบบสมการ 2 สมการ ได้ 3 แบบ
     1. หาคำตอบได้แน่นอน ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน
     2. หาคำตอบไม่ได้ ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองขนานกัน และไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน
     3. มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ คือ สิ่งที่เก็บข้อมูลกลุ่มหนึ่งไว้ โดยตำแหน่งของข้อมูลมีความสำคัญ ไม่สามารถสลับตำแหน่งของข้อมูลได้ สามารถเขียนได้โดย นำข้อมูลมาเขียนเรียนเป็นแถวและหลัก ไว้ในวงเล็บ [ ]

เช่น

กำหนดเมทริกซ์

  • เมทริกซ์ A มีขนาด (มิติ) m × n หมายความว่า เมทริกซ์ A มีจำนวน m แถว และมี n หลัก
  • เรียกสมาชิกที่อยู่ตำแหน่ง แถวที่ i หลักที่ j ว่า aij

ชนิดของเมทริกซ์

1. เมทริกซ์แถว คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 แถว ซึ่งจะมีมิติ = 1 × n

2. เมทริกซ์หลัก คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลัก ซึ่งจะมีมิติ = m × 1

3. เมทริกซ์ศูนย์ คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0

4. เมทริกซ์จตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก ซึ่งจะมีมิติ = k × k

5. เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก (แนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา) เป็นเลข 1 และสมาขิกที่เหลือเป็น 0

6. เมทริกซ์ทแยงมุม คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกซึ่งไม่อยู่ในแนวทแยงมุมหลักเป็น 0 ทั้งหมด

7. เมทริกซ์สเกลาร์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และสมาชิกที่เหลือเป็น 0

8. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

9. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือแนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับให้แถวเป็นหลัก ให้หลักเป็นแถว
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย At

เช่น

  • สมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะมีค่าเท่ากับ สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i ของเมทริกซ์ At
  • ถ้าเมทริกซ์ A มีมิติ = m × n แล้วเมทริกซ์ At มีมิติ = n × m
  • เมทริกซ์ (At)t จะเท่ากับ เมทริกซ์ A
  • ถ้าเมทริกซ์ At = A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์สมมาตร

การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่

ให้ k เป็นค่าคงที่

  • ถ้าเมทริกซ์ At = -A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์เสมือนสมมาตร

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ เมื่อมีมิติเท่ากัน และสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

เช่น

การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้เมื่อมีมิติเท่ากัน โดยนำตัวที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมาบวกหรือลบกัน

เช่น

สมบัติของการบวกเมทริกซ์

ให้ A, B, C เป็นเมทริกซ์ c, d เป็นค่าคงที่ และ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์
1. มิติของ A + B = มิติของ A = มิติของ B
2. A + B = B + A
3. (A + B) + C = A + (B + C)
4. A + 0 = 0 + A = A
5. A + (-A) = (-A) + A = 0
6. c(A + B) = cA + cB
7. (c + d)A = cA + dA
8. (cd)A = c(dA) = (dc)A = d(cA)
9. 1A = A
10. 0A = 0

การคูณเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ A จะคูณกับ B ได้ เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B
   ถ้า A มีมิติ m × n และ B มีมิติ n × p จะได้ A × B มีมิติ m × p

2. ให้ C = A × B
   จะได้ว่า Cxy หาได้จาก การนำแถวที่ x ของ A มากระทำกับหลักที่ y ของ B

   โดย Cxy = (ตัวที่ 1 ของแถว A)(ตัวที่ 1 ของหลัก B) + (ตัวที่ 2 ของแถว A)(ตัวที่ 2 ของหลัก B) + …

เช่น

สมบัติของการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ยกกำลัง

เมทริกซ์ที่ยกกำลังได้ จะต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส

เช่น

ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์

เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส มีค่าเป็นจำนวนจริง
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det A = |A|

เมทริกซ์ 2 × 2 หา det โดยการคูณแนวทแยงมุมหลัก ลบด้วยการคูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

เมทริกซ์ 3 × 3 หา det ได้โดยเติมสองหลักแรกต่อจากเมทริกซ์เดิม
แล้วหา det โดยคูณแนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา ลบด้วย คูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

ข้อควรรู้

  • เมทริกซ์ที่มี det เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน
  • เมทริกซ์ที่มี det ไม่เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ไมเนอร์

โคแฟกเตอร์

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ c เป็นค่าคงที่

1. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดเป็น 0 ทั้งหมด แล้ว det⁡ A = 0
2. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดซ้ำกัน แล้ว det ⁡A = 0
3. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือสามเหลี่ยมล่าง แล้ว det ⁡A = ผลคูณของแนวทแยงมุมหลัก
4. det⁡(AB) = det⁡(A)∙det⁡(B)
5. det⁡(An)= (det⁡A)n
6. det⁡(I) = 1
7. det⁡(At) = det⁡(A)
8. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้ว det ⁡B = c det ⁡A
9. det⁡(cA) = cn det⁡ A เมื่อ A มีมิติ = n × n
10. det⁡(0) = 0
11. ถ้า B เกิดจากการสลับแถวหรือสลับหลักของ A แล้ว det⁡ B = -det ⁡A
12. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้วนำไปบวกกับแถวหรือหลักอื่นของ A
    จะได้ det⁡ B = det ⁡A