คณิตศาสตร์ ม.5 – เวกเตอร์

PANYA SOCIETY

เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

เดินทางมาสู่บทที่ 3 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เวกเตอร์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 2 ข้อในทุกปี

นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “เวกเตอร์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

อย่างที่กล่าวข้างต้น เวกเตอร์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เวกเตอร์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
ผลคูณเชิงสเกลาร์
ผลคูณเชิงเวกเตอร์

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์

เวกเตอร์

เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
เช่น การบอกทางให้คนเดินไป ถ้าบอกแค่ว่า เดินไป 10 ก้าว จะยังไม่รู้ว่าต้องเดินไปทางไหน ต้องบอกว่า เดินไปในทิศทางไหนด้วย

เนื่องจากเวกเตอร์เป็นปริมาณที่บอกขนาดและทิศทางเท่านั้น ไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเริ่มจากจุดใดและไปจบที่จุดใด
ดังนั้นเราสามารถเลื่อนเวกเตอร์ได้ แต่ต้องไม่เปลี่ยนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์นั้น

เช่น พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้ว่า

เมื่อมีเวกเตอร์หนึ่งที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ u แต่มีทิศตรงข้ามกัน จะเรียกเวกเตอร์นั้นว่า -u

การบวกเวกเตอร์

* การลบเวกเตอร์ u – v จะหาได้จาก v + (-u)

การคูณด้วยสเกลาร์

การคูณค่าคงที่ c กับเวกเตอร์หนึ่ง จะทำให้ขนาดของเวกเตอร์นั้นเพิ่มขึ้นเป็น c เท่า
– ถ้า c เป็นบวก เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางเดิม
– ถ้า c เป็นลบ เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางตรงกันข้าม
เช่น

สมบัติการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

ให้ u เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุด x₁, y₁, z₁ ไปยัง x₂, y₂, z₂ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังรูป

จะสามารถเขียนเวกเตอร์ในรูปคู่อันดับ ได้ดังนี้

(x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁)

หรือสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์หลัก ได้ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์ ก็คือ ความยาวของเวกเตอร์นั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง
ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วย |u|

เมื่อเวกเตอร์ u = (a, b, c) จะสามารถหาขนาดของเวกเตอร์ ได้จาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

จะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ u ได้จาก

ผลคูณเชิงสเกลาร์

สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

การประยุกต์ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์

คุยกันท้ายบท

จะเห็นได้ว่า “เวกเตอร์” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “เมทริกซ์” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “เมทริกซ์” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในเทอมต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “ม.5 เทอม 2” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

ตัวอย่างบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ

1 Videos

การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์

32:42

บทที่ 2 เมทริกซ์

กลับหน้าบทความหลัก

ดร.อธิปัตย์ ธำรงธัญลักษณ์

อาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ได้รับทุนสมเด็จพระนางเจ้าสิริกิติ์ พระบรมราชินีนาถ ไปศึกษาระดับปริญญาเอก ที่ University of California, Los Angeles ทางด้านคณิตศาสตร์
ปริญญาตรี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เกียรตินิยมอันดับหนึ่ง เหรียญทอง
นักเรียนโอลิมปิกปี พ.ศ.2545

ตัวอย่างการสอน โดยพี่ปิง

วิดีโอเพิ่มเติม ->

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.5 – เมทริกซ์

PANYA SOCIETY

เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

เดินทางมาสู่บทที่ 2 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เมทริกซ์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 1 – 2 ข้อในทุกปี

นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “เมทริกซ์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

อย่างที่กล่าวข้างต้น เมทริกซ์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เมทริกซ์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

ระบบสมการเชิงเส้น
เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์
ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์
การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์
ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์
ตัวผกผันของเมทริกซ์
การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือ สมการที่ตัวแปรทุกตัวมีเลขยกกำลังเป็น 1

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถแก้สมการได้ตามปกติ
เช่น 2x + 1 = 5
2x = 4
x = 2

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 2 สมการ
เช่น x + 3y = 8 เป็นสมการที่ (1)
x – 2y = 3 เป็นสมการที่ (2)

คูณแต่ละสมการด้วยค่าคงที่ แล้วนำมาบวกลบกัน เพื่อกำจัด 1 ตัวแปร
นำ (1) – (2) : x + 3y – (x – 2y) = 8 – 3
5y = 5
y = 1
แทน y = 1 ใน (1) : x + 3(1) = 8
x = 5

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 3 สมการ
เช่น ระบบสมการ
x + y + z = 2 เป็นสมการที่ (1)
x + y – z = 4 เป็นสมการที่ (2)
x + 2y + z = 4 เป็นสมการที่ (3)

นำ (1) – (2) : 2z = -2
z = -1
แทน z = -1 ใน (1) : x + y – 1 = 2
x + y = 3 เป็นสมการที่ (4)
แทน z = -1 ใน (2) : x + y + 1 = 4
x + y = 3
แทน z = -1 ใน (3) : x + 2y – 1 = 4
x + 2y = 5 เป็นสมการที่ (5)
นำ 2×(4) – (5) : 2x + 2y – (x + 2y) = 6 – 5
x = 1
แทน x = 1 ใน (4) : 1 + y = 3
y = 2
ดังนั้น x = 1, y = 2, z = -1

เนื่องจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร คือ สมการเส้นตรง จึงอาจหาคำตอบของระบบสมการ 2 สมการ ได้ 3 แบบ
1. หาคำตอบได้แน่นอน ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน
2. หาคำตอบไม่ได้ ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองขนานกัน และไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน
3. มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ คือ สิ่งที่เก็บข้อมูลกลุ่มหนึ่งไว้ โดยตำแหน่งของข้อมูลมีความสำคัญ ไม่สามารถสลับตำแหน่งของข้อมูลได้ สามารถเขียนได้โดย นำข้อมูลมาเขียนเรียนเป็นแถวและหลัก ไว้ในวงเล็บ [ ]

เช่น

กำหนดเมทริกซ์

เมทริกซ์ A มีขนาด (มิติ) m × n หมายความว่า เมทริกซ์ A มีจำนวน m แถว และมี n หลัก
เรียกสมาชิกที่อยู่ตำแหน่ง แถวที่ i หลักที่ j ว่า a_{_ij}

ชนิดของเมทริกซ์

1. เมทริกซ์แถว คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 แถว ซึ่งจะมีมิติ = 1 × n

2. เมทริกซ์หลัก คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลัก ซึ่งจะมีมิติ = m × 1

3. เมทริกซ์ศูนย์ คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0

4. เมทริกซ์จตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก ซึ่งจะมีมิติ = k × k

5. เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก (แนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา) เป็นเลข 1 และสมาขิกที่เหลือเป็น 0

6. เมทริกซ์ทแยงมุม คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกซึ่งไม่อยู่ในแนวทแยงมุมหลักเป็น 0 ทั้งหมด

7. เมทริกซ์สเกลาร์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และสมาชิกที่เหลือเป็น 0

8. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

9. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือแนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับให้แถวเป็นหลัก ให้หลักเป็นแถว
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย A^t

เช่น

สมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะมีค่าเท่ากับ สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i ของเมทริกซ์ A^t
ถ้าเมทริกซ์ A มีมิติ = m × n แล้วเมทริกซ์ A^t มีมิติ = n × m
เมทริกซ์ (A^t)^t จะเท่ากับ เมทริกซ์ A
ถ้าเมทริกซ์ A^t= A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์สมมาตร

การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่

ให้ k เป็นค่าคงที่

ถ้าเมทริกซ์ A^t= -A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์เสมือนสมมาตร

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ เมื่อมีมิติเท่ากัน และสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

เช่น

การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้เมื่อมีมิติเท่ากัน โดยนำตัวที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมาบวกหรือลบกัน

เช่น

สมบัติของการบวกเมทริกซ์

ให้ A, B, C เป็นเมทริกซ์ c, d เป็นค่าคงที่ และ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์
1. มิติของ A + B = มิติของ A = มิติของ B
2. A + B = B + A
3. (A + B) + C = A + (B + C)
4. A + 0 = 0 + A = A
5. A + (-A) = (-A) + A = 0
6. c(A + B) = cA + cB
7. (c + d)A = cA + dA
8. (cd)A = c(dA) = (dc)A = d(cA)
9. 1A = A
10. 0A = 0

การคูณเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ A จะคูณกับ B ได้ เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B
ถ้า A มีมิติ m × n และ B มีมิติ n × p จะได้ A × B มีมิติ m × p

2. ให้ C = A × B
จะได้ว่า C_xy หาได้จาก การนำแถวที่ x ของ A มากระทำกับหลักที่ y ของ B

โดย C_xy = (ตัวที่ 1 ของแถว A)(ตัวที่ 1 ของหลัก B) + (ตัวที่ 2 ของแถว A)(ตัวที่ 2 ของหลัก B) + …

เช่น

สมบัติของการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ยกกำลัง

เมทริกซ์ที่ยกกำลังได้ จะต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส

เช่น

ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์

เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส มีค่าเป็นจำนวนจริง
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det A = |A|

เมทริกซ์ 2 × 2 หา det โดยการคูณแนวทแยงมุมหลัก ลบด้วยการคูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

เมทริกซ์ 3 × 3 หา det ได้โดยเติมสองหลักแรกต่อจากเมทริกซ์เดิม
แล้วหา det โดยคูณแนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา ลบด้วย คูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

ข้อควรรู้

เมทริกซ์ที่มี det เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน
เมทริกซ์ที่มี det ไม่เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ไมเนอร์

โคแฟกเตอร์

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ c เป็นค่าคงที่

1. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดเป็น 0 ทั้งหมด แล้ว det⁡ A = 0
2. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดซ้ำกัน แล้ว det ⁡A = 0
3. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือสามเหลี่ยมล่าง แล้ว det ⁡A = ผลคูณของแนวทแยงมุมหลัก
4. det⁡(AB) = det⁡(A)∙det⁡(B)
5. det⁡(Aⁿ)= (det⁡A)ⁿ
6. det⁡(I) = 1
7. det⁡(A^t) = det⁡(A)
8. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้ว det ⁡B = c det ⁡A
9. det⁡(cA) = cⁿ det⁡ A เมื่อ A มีมิติ = n × n
10. det⁡(0) = 0
11. ถ้า B เกิดจากการสลับแถวหรือสลับหลักของ A แล้ว det⁡ B = -det ⁡A
12. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้วนำไปบวกกับแถวหรือหลักอื่นของ A
จะได้ det⁡ B = det ⁡A

ตัวผกผันของเมทริกซ์

เมทริกซ์ผกผันของ A คือ เมทริกซ์ที่เมื่อนำมาคูณกับ A แล้วได้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วย A-1

จะได้ว่า A A-1 = A-1 A = I_n

เมทริกซ์ 2 × 2

สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

การแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์แต่งเติม

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. แต่งเติมเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B แล้วใช้การดำเนินการตามแถว
ทำให้เมทริกซ์ A กลายเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว โดยจะมีลักษณะดังนี้
1.) ในแต่ละแถว ตัวเลขแรกที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็นเลข 1
2.) ตัวเลขที่อยู่ใต้เลข 1 ตัวแรก ต้องเป็น 0
3.) เลข 0 ที่อยู่ก่อนเลข 1 ตัวแรก จะต้องเพิ่มขึ้นทุกแถว
4.) ถ้ามีแถวที่เป็น 0 ทั้งหมด แถวต่อ ๆ ไป ต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด
3. เขียนระบบสมการใหม่ จากเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว จะได้ค่าของตัวแปร 1 ตัว
4. แทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการอื่น เพื่อหาค่าตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง

การแก้ระบบสมการด้วยกฎของเครเมอร์

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. หา x₁ โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 1 ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A
3. หา x_n โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ n ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A

ตัวอย่าง

คุยกันท้ายบท

จะเห็นได้ว่า “เมทริกซ์” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “จำนวนจริง” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “จำนวนจริง” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “เวกเตอร์” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

พี่หวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

ตัวอย่างบทเรียนเรื่องเมทริกซ์

1 Videos

บทเรียนเรื่องทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์

28:47

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทที่ 3 เวกเตอร์

สุปิติ บูรณวัฒนาโชค

ปัจจุบันทำงานในบริษัท Start-up ด้านเทคโนโลยีหลายแห่ง
อดีตเหรียญทองฟิสิกส์โอลิมปิก
เคยทำงานที่บริษัท Oracle สหรัฐอเมริกา ซึ่งเป็นบริษัทซอฟต์แวร์ระดับ Top 5 ของโลก
ผู้ร่วมก่อตั้งเว็บไซต์เด็กดีดอทคอม

ตัวอย่างการสอน โดยพี่แชร์

วิดีโอเพิ่มเติม ->

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คอร์ส ม.4-ม.6 เทอม 1 ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

คอร์ส ม.4 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

เพียง 3,990.-

คอร์ส ม.5 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

เพียง 3,990.-

คอร์ส ม.6 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

เพียง 3,990.-

คอร์ส ม.4-ม.6 เทอม 1

(ฟิสิกส์ ● เคมี ● คณิตศาสตร์)

" !!!"

Promotion

คอร์ส ม.4 – ม.6 เทอม 1 ราคาสุดว้าว
รายเทอมวิชาละ 5~~,000~~ บาท
3 วิชาลดจาก ~~15,000~~ บาท
เหลือ 3,990 บาท

คอร์ส ม.4 เทอม 1

ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

ปิดเทอม เปิดปัญญา 2566 ซื้อ 1 ได้ถึง 3 คอร์ส เมื่อสมัครคอร์ส คอร์ส ม.4 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

คอร์ส ม.5 เทอม 1

ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

ปิดเทอม เปิดปัญญา 2566 ซื้อ 1 ได้ถึง 3 คอร์ส เมื่อสมัครคอร์ส คอร์ส ม.5 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

คอร์ส ม.6 เทอม 1

ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์

ปิดเทอม เปิดปัญญา 2566 ซื้อ 1 ได้ถึง 3 คอร์ส เมื่อสมัครคอร์ส คอร์ส ม.6 เทอม 1

เพียง 3,990 บาท

**เมื่อสมัครเรียนแล้ว ทุกคอร์สใน Pack จะปรากฏที่เมนูคอร์สของฉันโดยอัตโนมัติ**

สิ่งที่จะได้รับ

พื้นฐานแน่น

สอนตั้งแต่พื้นฐาน เน้นความเข้าใจ หมดปัญหาจำสูตรได้แต่ใช้ไม่เป็น ด้วยการอธิบายที่มาของสูตรที่ใช้ในแต่ละเรื่องและวิธีการใช้อย่างมีประสิทธิภาพ

ข้อสอบครบทุกรูปแบบ

แบบฝึกหัด และโจทย์ไล่ระดับตั้งแต่ง่ายไปยาก จับเวลาทำแบบฝึกหัด พร้อมเฉลยละเอียดทุกข้อ

มีระบบโค้ชผู้ช่วยส่วนตัว

ระบบที่ออกแบบมาเพื่อการรเรียนออนไลน์ที่มีประสิทธิภาพสูงสุด ใช้ง่าย เรียนไม่เข้าใจ ถาม-ตอบกับคุณครู ได้ตลอด 24 ชม.

::คอร์สรายเทอม::

“รับ E-BOOK สมุดสรุปสูตร ทุกวิชาคอร์ส ม.ปลาย เทอม 1 ฟรี!”

สมุดสรุปสูตร
วิชาฟิสิกส์
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาเคมี
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาคณิตศาสตร์
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาฟิสิกส์
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาเคมี
(E-BOOK)

สมุดสรุปสูตร
วิชาคณิตศาสตร์
(E-BOOK)

ความพิเศษของคอร์ส

1) สรุปเนื้อหาสำคัญแต่ละบทให้เข้าใจง่ายที่สุด

2) คัดสรรโจทย์สำคัญไล่ระดับความง่าย-ยาก ให้ฝึกทำหลายรูปแบบ

3) ถาม-ตอบ กับผู้ช่วยส่วนตัว

4) แบบเรียนสรุปเนื้อหา และตะลุยโจทย์ส่งถึงบ้าน ฟรี!!

1) สรุปเนื้อหาสำคัญแต่ละบทให้เข้าใจง่ายที่สุด

2) คัดสรรโจทย์สำคัญไล่ระดับความง่าย-ยาก ให้ฝึกทำหลายรูปแบบ

3) ถาม-ตอบ กับผู้ช่วยส่วนตัว

4) แบบเรียนสรุปเนื้อหา และตะลุยโจทย์ส่งถึงบ้าน ฟรี!!

รายละเอียด คอร์สเรียน

รายละเอียดคอร์ส

ฟิสิกส์ ม.4 เทอม 1 โดย พี่แชร์
• ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ และเรื่องเกี่ยวกับกลศาสตร์หรือการเคลื่อนที่อีก 2 บท คือ การเคลื่อนที่แนวตรง, แรงและกฎการเคลื่อนที่ ในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหา การทดลองสนุก ๆ ที่จะทำให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหาอย่างเป็นรูปธรรม และแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนการทำโจทย์ ซึ่งหลังจากเรียนแล้วน้อง ๆ จะทั้งเข้าใจเนื้อหา และทำโจทย์ได้
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ สสวท (2560) ที่อยากเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับฟิสิกส์! หรืออยากจะเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยแต่เนิ่น ๆ

เคมี ม.4 เทอม 1 โดย พี่นัท
• คอร์สนี้จะทำให้นักเรียนทุกคน ได้รู้ว่าวิชาเคมีไม่ใช่วิชาที่ยาก โดยครูนัทจะใช้วิธีการสอนที่จะพาน้อง ๆ ทุกคนสนุกไปด้วยกัน โดยครูจะสอนให้ใช้ทักษะการคิดวิเคราะห์ (Analytical thinking) และการคิดเชิงวิพากษ์ (Critical thinking) ในการทำความเข้าใจเนื้อหาแต่ละส่วน โดยไม่เน้นการท่องจำ
• เนื้อหาในคอร์สนี้ ครอบคลุมเรื่อง ทักษะการปฏิบัติการทางเคมี แบบจำลองอะตอม การจัดเรียงอิเล็กตรอน ตารางธาตุ สมบัติของธาตุตามตารางธาตุ สารประกอบ ธาตุทรานซิชัน สารกัมมันตรังสี พันธะโลหะ พันธะไออนิก พันธะโคเวเลนซ์ โดยคุณครูจะใช้ตัวอย่างคำถามเพื่อช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจบทเรียนดียิ่งขึ้น และเมื่อศึกษาบทเรียนจบลงไปในแต่ละหัวข้อย่อย ครูนัทก็ยังมีแบบทดสอบย่อย เพื่อให้น้อง ๆ ได้ทดสอบความเข้าใจของตัวเองในบทเรียนเป็นช่วง ๆ พร้อมกับวิเคราะห์ และเฉลยละเอียดในทุกข้อ รวมทั้งสอดแทรกเทคนิคการจำที่น่าสนใจมากมาย ซึ่งจะทำให้น้อง ๆ ทุกคนมีความมั่นใจได้ว่า เราได้เรียนรู้และ เข้าใจได้มากขึ้น

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 โดย พี่ปิงและพี่แชร์
• ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ เซต ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง และพหุนาม ในบทเรียนจะประกอบไปด้วยเนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายจนถึงระดับสูง เน้นให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงกับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯ แบบท่องจำ ทำโจทย์ไม่ได้ โดย อาจารย์ปิงและอาจารย์แชร์ ให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน !!!

เข้าชมคอร์สเรียน

รายละเอียดคอร์ส

ฟิสิกส์ ม.5 เทอม 1 โดย พี่แชร์
• ประกอบไปด้วยเนื้อหา 4 บท คือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย, คลื่น, แสงเชิงคลื่น, และแสงเชิงรังสี ในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหา การทดลองสนุก ๆ ที่จะทำให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหาอย่างเป็นรูปธรรม และแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนการทำโจทย์ ซึ่งหลังจากเรียนแล้วน้อง ๆ จะทั้งเข้าใจเนื้อหา และทำโจทย์ได้
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.5 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ สสวท (2560) ที่อยากเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับฟิสิกส์! หรืออยากจะเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยแต่เนิ่น ๆ

เคมี ม.5 เทอม 1 โดย พี่นัท
• คอร์สนี้ จะมีทั้งส่วนที่เป็นเนื้อหาและการคำนวณ ซึ่งน้อง ๆ หลายคน อาจจะรู้สึกว่ามันยาก แต่ครูนัทจะใช้วิธีการสอนที่จะพาน้อง ๆ ทุกคน ให้ใช้ทักษะการคิดวิเคราะห์ ในการทำความเข้าใจเนื้อหาแต่ละส่วน รวมถึงอธิบายวิธีการคำนวณอย่างละเอียด ไม่เน้นท่องจำเนื้อหา ทำให้น้อง ๆ รู้สึกว่าวิชาเคมีไม่ใช่วิชาที่เรียนยากและไม่น่าเบื่อเลย
• เนื้อหาในคอร์สนี้ ครอบคลุมเรื่อง แก๊สและสมบัติของแก๊ส การแพร่ผ่านของแก๊ส อัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี กลไกการเกิดปฏิกิริยาเคมี ปัจจัยที่ส่งผลต่ออัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี สมดุลเคมี ค่าคงที่สมดุล การเปลี่ยนภาวะสมดุล การคำนวณเรื่องสมดุลเคมี โดยแต่ละส่วนของเนื้อหา จะมีแบบฝึกหัดให้ทำ เพื่อช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจในบทเรียนที่เพิ่งเรียนไปได้ดียิ่งขึ้น และเมื่อศึกษาบทเรียนจบลงไปในแต่ละหัวข้อย่อย ครูนัทก็ยังมีแบบทดสอบย่อย เพื่อให้น้อง ๆ ได้ทดสอบความเข้าใจของตัวเองในบทเรียนเป็นช่วง ๆ พร้อมกับวิเคราะห์และเฉลยละเอียดในทุกข้อ รวมทั้งสอดแทรกเทคนิคการคำนวณที่น่าสนใจมากมาย ซึ่งจะทำให้น้อง ๆ ทุกคนมีความมั่นใจได้ว่า เราได้เรียนรู้และเข้าใจได้มากขึ้น

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 โดย พี่ปิงและพี่แชร์
• ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เมทริกซ์ เวกเตอร์ในสามมิติ ในบทเรียนจะประกอบไปด้วยเนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายจนถึงระดับสูง เน้นให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงกับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.5 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯแบบท่องจำ ทำโจทย์ไม่ได้ โดย อาจารย์ปิงและอาจารย์แชร์ ให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน !!!

เข้าชมคอร์สเรียน

รายละเอียดคอร์ส

ฟิสิกส์ ม.6 เทอม 1 โดย พี่แชร์
• ประกอบไปด้วยเนื้อหา 3 บท คือ เรื่องแม่เหล็กและไฟฟ้า, ความร้อนและแก๊ส, และของแข็งและของไหล ในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหา การทดลองสนุก ๆ ที่จะทำให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหาอย่างเป็นรูปธรรม และแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนการทำโจทย์ ซึ่งหลังจากเรียนแล้วน้อง ๆ จะทั้งเข้าใจเนื้อหา และทำโจทย์ได้
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.6 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ สสวท (2560) ที่อยากเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับฟิสิกส์! หรืออยากจะเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยแต่เนิ่น ๆ

เคมี ม.6 โดย พี่นัท
• คอร์สนี้ จะเป็นเนื้อหาที่เน้นการบรรยาย ซึ่งน้อง ๆ หลายคน อาจจะรู้สึกว่ามันยาก และน่าเบื่อ แต่ครูนัทจะใช้วิธีการสอนที่จะพาน้อง ๆ ทุกคน ให้ใช้ทักษะการคิดวิเคราะห์ ในการทำความเข้าใจเนื้อหาแต่ละส่วน ไม่เน้นท่องจำเนื้อหา แต่ทำให้น้อง ๆ รู้สึกว่าวิชาเคมีไม่ใช่วิชาที่เรียนยากและไม่น่าเบื่อเลย
• เนื้อหาในคอร์สนี้ ครอบคลุมเรื่อง เคมีอินทรีย์ และพอลิเมอร์ ซึ่งในแต่ละเรื่องจะมีแบบฝึกหัด ให้น้อง ๆ ค่อย ๆ ทำความเข้าใจไปทีละเรื่อง และ สามารถเชื่อมโยงแต่ละเรื่องเข้าด้วยกัน เพื่อให้สามารถทำโจทย์ที่มีความยากและซับซ้อนได้

คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 โดย พี่นอต
• ประกอบไปด้วยเนื้อหาครบตามหลักสูตร สสวท (2560) ได้แก่ ลำดับ อนุกรม ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ การประยุกต์ของอนุพันธ์ และปริพันธ์ ในบทเรียนจะประกอบไปด้วยเนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายจนถึงระดับสูง เน้นให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงกับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องได้เรียนเทคนิค Math Magic แล้วจะเข้าใจเนื้อหาอย่างละเอียด และเสกโจทย์ยากให้กลายเป็นง่ายได้แน่นอน
• คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยู่ชั้น ม.6 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯ แบบท่องจำ ทำโจทย์ไม่ได้ อาจารย์นอตจะมาเสกให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การเตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน !!!

เข้าชมคอร์สเรียน

Video ตัวอย่าง

⛱ม.4 เทอม 1🫧

ฟิสิกส์ เทอม 1

13 Videos