ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีสมการเป็น

y = a^x ,  a > 0 ,  a ≠ 1

แล้วฟังก์ชันลอการิทึมจะมีสมการเป็น

x = a^y , a > 0 , a ≠ 1

ซึ่งหากจะเขียนให้อยู่ในรูป y ในเทอมของ x จะเขียนได้เป็น

 y = log_ax

ซึ่งหมายถึง x = a^y ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึม คือ

f = {(x, y) | y = log_a x, a > 0, a ≠ 1}

ตัวอย่างเช่น
หาค่าของ log₂(32)

ให้ y = log₂(32)
จะได้ 2^y = 32
2^y = 2⁵
จะได้ว่า y = 5
ดังนั้น log₂(32) = 5

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากเป็นอินเวอร์สกัน กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จึงสมมาตรกันโดยมีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร ดังนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ a > 1

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ 0 < a < 1

สมบัติของลอการิทึม ให้ a, M, N เป็นจำนวนบวก ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 และ m, n เป็นจำนวนจริงใดๆ

แมนทิสซา และคาแรกเทอริสติก ให้ N เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็ม จะเขียน N ได้ในรูป

N = A×10ⁿ โดยที่ 1 ≤ A < 10 จะได้ว่า

• logN = log (A×10ⁿ) โดยที่ log1 ≤ logA < log10
• logN = logA + log10ⁿ
• logN = logA + nlog10 โดยที่ 0 ≤ logA < 1
• logN = logA + n

เรียก log A ว่า แมสทิสซา ของ log N ซึ่งค่าของ log A จะสามารถหาได้จากการเปิดตารางลอการิทึม
เรียก n ว่า คาแรกเทอริสติก ของ log N

สมการลอการิทึม คือ สมการที่มี x อยู่ในลอการิทึม โดยอาจอยู่ตรงเลขฐาน หรืออยู่หลัง log ก็ได้

การแก้สมการลอการิทึม

• แก้โดยใช้นิยามของฟังก์ชันลอการิทึม
  • ถ้า log_ax = M
  • จะได้ว่า x = a^M
• แก้โดยการทำฐานให้เท่ากัน
  • ถ้า log_aM = log_aN
  • จะได้ว่า M = N
• แก้โดยการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น
  • หากจัดรูปสมการไม่ได้อาจแทนค่าตัวที่ติด log ด้วยตัวแปรอื่น แล้วจึงแก้สมการ

ตัวอย่างโจทย์ จงแก้สมการลอการิทึมต่อไปนี้

• log₅(x – 2) + 1 = log₅(x + 2) เฉลย
• log₃x – 2 = 3log_x3 เฉลย