PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย คณิตศาสตร์ ม.ปลาย สรุปสูตร + แนวข้อสอบ A-Level

สรุปภาพรวม

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย (Analytic Geometry and Conic Sections) เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ศึกษาเกี่ยวกับการใช้พิกัดและสมการเพื่ออธิบายรูปทางเรขาคณิตบนระนาบ โดยมีแนวคิดสำคัญ ได้แก่ ระยะทางและจุดกึ่งกลาง สมการเส้นตรง สมการวงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานสำคัญของการวิเคราะห์กราฟและการแก้ปัญหาเชิงเรขาคณิตด้วยพีชคณิต ซึ่งเป็นเนื้อหาที่พบบ่อยในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์

สรุปสูตรและเนื้อหาสำคัญ
บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

1. ระยะห่างระหว่างจุด
ให้จุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) อยู่บนระนาบ x – y ดังรูป

ระยะห่างระหว่างจุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) จะหาได้จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ได้ว่า

ข้อสังเกต

ถ้า x₁ = x₂ แสดงว่า จุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างสองจุดนั้น = |y₁ – y₂|
ถ้า y1 = y2 แสดงว่า จุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน x
จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างสองจุดนั้น = |x₁ – x₂|

ตัวอย่างโจทย์ จงหาระยะห่างระหว่าจุด (1,2) และ (4,6) เฉลย

2. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด
ถ้าจุด (x, y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) ดังรูป

แสดงว่า x เป็นค่ากึ่งกลางของ x₁ และ x₂ และ y เป็นค่ากึ่งกลางของ y₁ และ y₂ จะได้ว่า

3. ความชันของเส้นตรง

ข้อสังเกต

ถ้าความชันเป็นบวก เส้นตรงจะทำมุมแหลมกับแกน x เมื่อวัดมุมทวนเข็มนาฬิกา
ถ้าความชันเป็นลบ เส้นตรงจะทำมุมป้านกับแกน x เมื่อวัดมุมทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า x₁ = x₂ เส้นตรงจะขนานกับแกน y ซึ่งความชันจะหาค่าไม่ได้
ถ้า y₁ = y₂ เส้นตรงจะขนานกับแกน x ซึ่งความชันจะเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างโจทย์ จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านสองจุดต่อไปนี้ (-7, -3) และ (-13, -6) เฉลย

4. เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

เส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน y จะขนานกันก็ต่อเมื่อมีความชันเท่ากัน
เส้นตรงที่ขนานกับแกน y จะขนานกับเส้นตรงที่ขนานกับแกน y เส้นอื่น ๆ ด้วย
เส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน y จะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อมีความชันคูณกันได้เท่ากับ -1
เส้นตรงที่ขนานกับแกน y จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่ขนานแกน x

5. ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง
ให้ (x, y) เป็นจุดใด ๆ บนเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน y และลากผ่านจุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂)
จะได้สมการเส้นตรงนี้ คือ

ถ้าให้เส้นตรงที่มีความชัน m ตัดแกน y ที่จุด (0, c) จะมีสมการเส้นตรง คือ

y = mx + c

เรียก c ว่าระยะตัดแกน y
และจะได้จุดตัดแกน x คือจุดที่ y = 0 จะได้ว่า

0 = mx+c
x = (-c/m)

ดังนั้น จุดตัดแกน x คือ ((-c/m), 0)
เรียก (-c/m) ว่าระยะตัดแกน x

ข้อสังเกต

สมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน x จะมีสมการเป็น y = c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ใด ๆ
สมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน y จะมีสมการเป็น x = k โดยที่ k เป็นค่าคงที่ใด ๆ
เราสามารถหาสมการเส้นตรงใด ๆ ที่ไม่ขนานกับแกน y ได้ จากการแก้สมการ หรือระบบสมการ ของสมการเส้นตรง y = mx + c จากเงื่อนไขที่กำหนดมา
ถ้าเส้นตรงผ่านจุด (a, b) แสดงว่าจุด (a, b) อยู่บนเส้นตรงนั้น จะได้ว่า b = ma + c

โจทย์ตัวอย่าง จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ -7 และผ่านจุด (0, -5) เฉลย

6. วงกลม
นิยามของวงกลม คือ เซตของจุดที่มีระยะห่างจากจุด ๆ หนึ่ง (จุดศูนย์กลางของวงกลม) เป็นระยะเท่า ๆ กัน จะได้ว่า ทุก ๆ จุดบนวงกลมจะมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมี

สมการวงกลม กลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และมีรัศมียาว r หน่วย จะมีสมการ คือ

(x – h)² + (y – k)² = r²

แต่สมการวงกลมสามารถเขียนได้อีกแบบดังนี้

จาก (x-h)²+ (y-k)²= r²

จะได้ x²– 2hx + h²+ y²– 2ky + y²= r²

x²+ y²– 2hx – 2ky + h²+ y²– r²= 0

ให้ A = -2h, B = -2k, C = h² + k²– r²

จะได้รูปทั่วไปของสมการวงกลม คือ x² + y² + Ax + By + C = 0

7. วงรี
นิยามของวงรี ให้ F₁ และ F₂ เป็นจุดใด ๆ จุด P ใด ๆ บนวงรีจะมีผลบวกของระยะจากจุดนั้นไปยังจุด F₁ และ F₂ เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่งเสมอ โดยที่ค่าคงที่นี้มีค่ามากกว่าระยะ F₁F₂ หรือก็คือ F₁P + F₂P = k โดยที่ k > F₁F₂ สำหรับทุกจุด P บนวงรี เรียกจุด F₁ และ F₂ ว่า จุดโฟกัส และเรียก k ว่า ผลบวกคงตัว

F₁P₁ + F₂P₁ = k = F₁P₂ + F₂P₂

ส่วนประกอบของวงรี กราฟวงรีที่จะศึกษาในตอนนี้มี 2 แบบ ดังนี้

ส่วนประกอบของวงรี มีดังนี้
1. จุดศูนย์กลางวงรี (จากรูปคือจุด C(h, k)) คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองจุด กำหนดให้ จุดโฟกัสทั้งสองห่างจากจุดศูนย์กลาง c หน่วย จะได้ว่า จุดโฟกัสทั้งสองห่างกัน 2c หน่วย

ถ้าวงรีเป็นแนวนอน จะได้ว่าจุดโฟกัสคือ (h ± c, k)
ถ้าวงรีเป็นแนวตั้ง จะได้ว่าจุดโฟกัสคือ (h, k ± c)

2. แกนเอก (จากรูปคือเส้นตรง V₁,V₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี และลากผ่านจุดโฟกัสทั้งสองจุด กำหนดให้ แกนเอกยาว 2a หน่วย

3. จุดยอดของวงรี (จากรูปคือจุด V₁ และ V₂) คือ จุดปลายของแกนเอก
จะเห็นว่า ผลบวกคงตัว จะมีค่าเท่ากับความยาวแกนเอก = 2a หน่วย

ถ้าวงรีเป็นแนวนอน จะได้ว่าจุดยอดคือ (h ± a, k)
ถ้าวงรีเป็นแนวตั้ง จะได้ว่าจุดยอดคือ (h, k ± a)
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดทั้งสองจุด คือ จุดศูนย์กลางวงรี

4. แกนโท (จากรูปคือเส้นตรง B₁B₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี โดยตั้งฉากกับแกนเอก
และผ่านจุดศูนย์กลางวงรี กำหนดให้ แกนโทยาว 2b หน่วย ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหว่างจุดปลายของแกนโท คือ จุดศูนย์กลางวงรี

5. เส้นเลตัสเรกตัม (Latus Rectum) (คือ เส้นประทั้งสองเส้น ในรูปวงรีแนวนอน และวงรีแนวตั้ง) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย อยู่บนวงรี(คอร์ดของวงรี) โดยตั้งฉากกับแกนเอก และผ่านจุดโฟกัส

6. ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี (e) คือ ค่าที่บอกความรีของวงรี โดย e = c/a

ค่า e มีค่าอยู่ในช่วง (0, 1)
ถ้า e มีค่าเข้าใกล้ 1 วงรีจะรีมาก
ถ้า e มีค่าเข้าใกล้ 0 วงรีจะรีน้อย

สมการวงรี

โจทย์ตัวอย่าง วงรีที่มีสมการเป็น ^(x+1)²⁄₂₅ + ^(y+2)²⁄₁₆ = 1

เป็นวงรีแนวนอน หรือแนวตั้ง ?
หาจุดศูนย์กลางวงรี ?
จุดโฟกัส ความยาวแกนเอก ?
จุดยอดของวงรี ?
ความยาวแกนโท ?
ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม ?
ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรีนี้ ? เฉลย

8. พาราโบลา
นิยามของพาราโบลา ให้ L เป็นเส้นตรงใด ๆ และ F เป็นจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นตรง L จุด P ใด ๆ บนพาราโบลาจะมีระยะห่างจากเส้นตรง L เท่ากับ ระยะห่างจากจุด F เรียกจุด F ว่า จุดโฟกัสของพาราโบลา และเรียกเส้นตรง L ว่า เส้นไดเรกตริกซ์
ส่วนประกอบของพาราโบลา

กราฟพาราโบลาที่จะศึกษามี 4 แบบ ดังนี้

ส่วนประกอบของพาราโบลา มีดังนี้
1. จุดยอด (จากรูปคือ V(h, k)) คือ จุดที่แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดโฟกัสไปตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์ ให้ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสกับจดยอดเท่ากับ a จะได้ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสกับเส้นไดเรกตริกซ์เท่ากับ 2a

2. แกนสมมาตร คือ เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์ และผ่านจุดโฟกัส และจะผ่านจุดยอดด้วย แกนสมมาตรจะแบ่งกราฟพาราโบลาออกเป็น 2 ส่วนที่สมมาตรกัน

3. เส้นเลตัสเรกตัม (จากรูปคือ เส้นประ) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนพาราโบลา และลากผ่านจุดโฟกัส และขนานกับเส้นไดเรกตริกซ์ เส้นเลตัสเรกตัมยาวเท่ากับ 4a

ตารางแสดงส่วนประกอบของพาราโบลา

ลักษณะกราฟ	จุดโฟกัส	สมการเส้นไดเรกตริกซ์	สมการแกนสมมาตร	จุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัม
หงาย	(h, k + a)	y = k – a	x = h	(h 2a, k + a)
คว่ำ	(h, k – a)	y = k + a	x = h	(h 2a, k – a)
ตะแคงขวา	(h + a, k)	x = h – a	y = k	(h + a, k 2a)
ตะแคงซ้าย	(h – a, k)	x = h + a	y = k	(h – a, k 2a)

สมการของพาราโบลา

พาราโบลาหงาย จะมีสมการ คือ (x – h)² = 4a(y – k)
พาราโบลาคว่ำ จะมีสมการ คือ (x – h)² = -4a(y – k)
พาราโบลาตะแคงขวา จะมีสมการ คือ (y – k)² = 4a(x – h)
พาราโบลาตะแคงซ้าย จะมีสมการ คือ (y – k)² = -4a(x – h)

โจทย์ตัวอย่าง จงบอกลักษณะกราฟ จุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม และจุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัมของพาราโบลาที่มีสมการเป็น y² = -4x – 4 เฉลย

9. ไฮเพอร์โบลา
นิยามของไฮเพอร์โบลา ให้ F₁ และ F₂ เป็นจุดใด ๆ จุด P ใด ๆ บนไฮเพอร์โบลาจะมีผลต่างของระยะ จากจุดนั้นไปยังจุด F₁ และระยะจากจุดนั้นไปยังจุด F₂ เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่งเสมอ โดยที่ค่าคงที่นี้มีค่าน้อยกว่าระยะ F₁F₂ หรือก็คือ |F₁P – F₂P| = k โดยที่ k < F₁F₂
เรียกจุด F₁ และ F₂ ว่า จุดโฟกัส

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา กราฟไฮเพอร์โบลาที่จะศึกษามี 2 แบบ ดังนี้

(x – h)² + (y – k)² = r²

แต่สมการวงกลมสามารถเขียนได้อีกแบบดังนี้

จาก (x-h)²+ (y-k)²= r²

จะได้ x²– 2hx + h²+ y²– 2ky + y²= r²

x²+ y²– 2hx – 2ky + h²+ y²– r²= 0

ให้ A = -2h, B = -2k, C = h² + k²– r²

จะได้รูปทั่วไปของสมการวงกลม คือ x² + y² + Ax + By + C = 0

F₁P₁ + F₂P₁ = k = F₁P₂ + F₂P₂

ส่วนประกอบของวงรี กราฟวงรีที่จะศึกษาในตอนนี้มี 2 แบบ ดังนี้

ถ้าวงรีเป็นแนวนอน จะได้ว่าจุดโฟกัสคือ (h ± c, k)
ถ้าวงรีเป็นแนวตั้ง จะได้ว่าจุดโฟกัสคือ (h, k ± c)

ถ้าวงรีเป็นแนวนอน จะได้ว่าจุดยอดคือ (h ± a, k)
ถ้าวงรีเป็นแนวตั้ง จะได้ว่าจุดยอดคือ (h, k ± a)
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดทั้งสองจุด คือ จุดศูนย์กลางวงรี

6. ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี (e) คือ ค่าที่บอกความรีของวงรี โดย e = c/a

ค่า e มีค่าอยู่ในช่วง (0, 1)
ถ้า e มีค่าเข้าใกล้ 1 วงรีจะรีมาก
ถ้า e มีค่าเข้าใกล้ 0 วงรีจะรีน้อย

สมการวงรี

โจทย์ตัวอย่าง วงรีที่มีสมการเป็น ^(x+1)²⁄₂₅ + ^(y+2)²⁄₁₆ = 1

เป็นวงรีแนวนอน หรือแนวตั้ง ?
หาจุดศูนย์กลางวงรี ?
จุดโฟกัส ความยาวแกนเอก ?
จุดยอดของวงรี ?
ความยาวแกนโท ?
ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม ?
ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรีนี้ ? เฉลย

กราฟพาราโบลาที่จะศึกษามี 4 แบบ ดังนี้

ตารางแสดงส่วนประกอบของพาราโบลา

ลักษณะกราฟ	จุดโฟกัส	สมการเส้นไดเรกตริกซ์	สมการแกนสมมาตร	จุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัม
หงาย	(h, k + a)	y = k – a	x = h	(h ± 2a, k + a)
คว่ำ	(h, k – a)	y = k + a	x = h	(h ± 2a, k – a)
ตะแคงขวา	(h + a, k)	x = h – a	y = k	(h + a, k ± 2a)
ตะแคงซ้าย	(h – a, k)	x = h + a	y = k	(h – a, k ± 2a)

สมการของพาราโบลา

พาราโบลาหงาย จะมีสมการ คือ (x – h)² = 4a(y – k)
พาราโบลาคว่ำ จะมีสมการ คือ (x – h)² = -4a(y – k)
พาราโบลาตะแคงขวา จะมีสมการ คือ (y – k)² = 4a(x – h)
พาราโบลาตะแคงซ้าย จะมีสมการ คือ (y – k)² = -4a(x – h)

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา กราฟไฮเพอร์โบลาที่จะศึกษามี 2 แบบ ดังนี้

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา มีดังนี้

1. จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลา (จากรูปคือ C(h, k)) คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองจุด

ให้ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสกับจุดศูนย์กลางเท่ากับ c

2. แกนตามขวาง (จากรูปคือ V₁ V₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนไฮเพอร์โบลา

และอยู่บนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดโฟกัสทั้งสองจุด ให้แกนตามขวางยาว 2a

3. จุดยอด (จากรูปคือจุด V₁ และ V₂) คือ จุดปลายของแกนตามขวาง

จะได้ว่า ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดศูนย์กลางเท่ากับ c

จุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดทั้งสอง คือ จุดศูนย์กลาง

จาก |F₁P – F₂P| = k

ถ้าจุด P คือจุดยอด จะได้ว่า (c + a) – (c – a) = k

จะได้ว่า k = 2a

4. แกนสังยุค (จากรูปคือ B₁B₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว 2b โดยที่ c² = a² + b²

และตั้งฉากกับแกนตามขวาง และมีจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงนี้

5. เส้นกำกับ (จากรูปคือ เส้นตรง A₁ และ A₂) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดยอด

และจุดปลายแกนสังยุค เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ด้านของสี่เหลี่ยมนี้

เส้นกำกับทั้งสองเส้น จะตัดกันที่จุดศูนย์กลาง

กราฟไฮเพอร์โบลาจะเฉียดเข้าใกล้เส้นกำกับ แต่จะไม่สัมผัสกับเส้นกำกับ

6. เส้นเลตัสเรกตัม (จากรูปคือ เส้นประ) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนไฮเพอร์โบลา และลากผ่านจุดโฟกัส

และตั้งฉากกับแกนตามขวาง

เส้นเลตัสเรกตัม จะยาวเท่ากับ 2b²/a

สมการไฮเพอร์โบลา

สมการไฮเพอร์โบลาแนวนอน

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา มีดังนี้

1. จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลา (จากรูปคือ C(h, k)) คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองจุด ให้ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสกับจุดศูนย์กลางเท่ากับ c

2. แกนตามขวาง (จากรูปคือ V₁ V₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนไฮเพอร์โบลา และอยู่บนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดโฟกัสทั้งสองจุด ให้แกนตามขวางยาว 2a

3. จุดยอด (จากรูปคือจุด V₁ และ V₂) คือ จุดปลายของแกนตามขวาง

จะได้ว่า ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดศูนย์กลางเท่ากับ c จุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดทั้งสอง คือ จุดศูนย์กลาง จาก |F₁P – F₂P| = k ถ้าจุด P คือจุดยอด จะได้ว่า (c + a) – (c – a) = k จะได้ว่า k = 2a

4. แกนสังยุค (จากรูปคือ B₁B₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว 2b โดยที่ c² = a² + b²และตั้งฉากกับแกนตามขวาง และมีจุดศูนย์กลางแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงนี้

5. เส้นกำกับ (จากรูปคือ เส้นตรง A₁ และ A₂) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดยอด และจุดปลายแกนสังยุค เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ด้านของสี่เหลี่ยมนี้ เส้นกำกับทั้งสองเส้น จะตัดกันที่จุดศูนย์กลาง กราฟไฮเพอร์โบลาจะเฉียดเข้าใกล้เส้นกำกับ แต่จะไม่สัมผัสกับเส้นกำกับ

6. เส้นเลตัสเรกตัม (จากรูปคือ เส้นประ) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนไฮเพอร์โบลา และลากผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับแกนตามขวาง เส้นเลตัสเรกตัม จะยาวเท่ากับ 2b²/a

สมการไฮเพอร์โบลา

สมการไฮเพอร์โบลาแนวนอน

สมการไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง

ตัวอย่างโจทย์ บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

ตัวอย่างโจทย์ ระยะห่างระหว่างจุด
จงหาระยะห่างระหว่าจุด (1,2) และ (4,6)

วิธีทำ

ตอบระยะห่างระหว่าจุด (1,2) และ (4,6) คือ 5 หน่วย

ตัวอย่างโจทย์ สมการเส้นตรง
จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ -7 และผ่านจุด (0, -5)

วิธีทำ

ตอบ สมการเส้นตรง คือ y = -7x – 5

ตัวอย่างโจทย์ พาราโบลา
จงบอกลักษณะกราฟ จุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม และจุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัมของพาราโบลาที่มีสมการเป็น y² = -4x – 4

วิธีทำ
สมการอยู่ในรูป (y – 0)² = -4(1)(x + 1)
ดังนั้น เป็นพาราโบลาตะแคงซ้าย
และ a = 1
จะได้ว่า จุดยอดคือ (-1, 0)
จุดโฟกัสคือ (-2, 0)
เส้นไดเรกตริกซ์คือ x = 0
แกนสมมาตร คือ เส้น y = 0
เส้นเลตัสเรกตัมยาว 4(1) = 4
จุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัม คือ (-2, 2) และ (-2, -2)

วิเคราะห์แนวข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์
บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

สถิติการออกข้อสอบ A-Level ย้อนหลัง

บท	A-Level 67	A-Level 68	A-Level 69
เซต	1	2	1
ตรรกศาสตร์	2	1	1
จำนวนจริง	2	2	1
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน	1	1	3
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม	2	1	2
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย	2	3	3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	2	2	2
เมทริกซ์	1	2	1
เวกเตอร์	2	2	2
จำนวนเชิงซ้อน	2	1	2
หลักการนับเบื้องต้น	2	2	2
ความน่าจะเป็น	1	1	1
ลำดับและอนุกรม	3	3	2
แคลคูลัสเบื้องต้น	3	3	3
สถิต	2	1	2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น	2	3	2

จะเห็นว่า บทที่ออกบ่อย ได้แก่
– แคลคูลัสเบื้องต้น
– ลำดับและอนุกรม
– เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย
– ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

จะเห็นว่าบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ออกเยอะทุกปี ถ้าใครคล่องบทนี้เก็บคะแนนได้เยอะแน่นอนครับ

ตัวอย่างโจทย์ A-Level เรขาคณิตวิเคราะห์
ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีพิกัดของ A, B และ C คือ (7, 6), (1, 2) และ (1, –2) ตามลำดับ
แล้วส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC จากจุดยอด B ไปยังฐาน AC ยาวกี่หน่วย
1. 0.8 2. 1.6 3. 2.4 4. 4 5. 4.8

วิธีทำ
หาสมการเส้นตรง AC แล้วหาระยะจากจุด B ไปยังเส้นนี้

ความชัน AC: m = (6 − (−2))/(7 − 1) = 8/6 = 4/3

สมการเส้น AC (ผ่าน C(1, −2)): y + 2 = (4/3)(x − 1)
3y + 6 = 4x − 4
4x − 3y − 10 = 0

ระยะจากจุด (x₀, y₀) ถึงเส้น Ax + By + C = 0: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
= |4(1) − 3(2) − 10| / √(4² + (−3)²)
= |4 − 6 − 10| / √25
= 12/5
= 2.4

ตอบ ตัวเลือกที่ 3. 2.4

ตัวอย่างโจทย์ A-Level เรขาคณิตวิเคราะห์
ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีพิกัดของ A, B และ C คือ (7, 6), (1, 2) และ (1, –2) ตามลำดับ แล้วส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC จากจุดยอด B ไปยังฐาน AC ยาวกี่หน่วย
1. 0.8 2. 1.6 3. 2.4 4. 4 5. 4.8

วิธีทำ
หาสมการเส้นตรง AC แล้วหาระยะจากจุด B ไปยังเส้นนี้

ความชัน AC:
m = (6 − (−2))/(7 − 1) = 8/6 = 4/3

สมการเส้น AC (ผ่าน C(1, −2)):
y + 2 = (4/3)(x − 1)
3y + 6 = 4x − 4
4x − 3y − 10 = 0

ระยะจากจุด (x₀, y₀) ถึงเส้น Ax + By + C = 0:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
= |4(1) − 3(2) − 10| / √(4² + (−3)²)
= |4 − 6 − 10| / √25
= 12/5
= 2.4

ตอบ ตัวเลือกที่ 3. 2.4

ตัวอย่างโจทย์ A-Level กราฟภาคตัดกรวย
ข้อใดต่อไปนี้เป็นกราฟของสมการ y²– x²+ 6x – 8 = 0
1. วงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย
2. วงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน X
3. วงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน Y
4. ไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน X
5. ไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน Y

วิธีทำ

จัดรูปสมการ y² − x² + 6x − 8 = 0
y² − (x² − 6x + 8) = 0
y² − [(x − 3)² − 1] = 0
y² − (x − 3)² = −1
(x − 3)² − y² = 1

สมการอยู่ในรูป (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 โดย h = 3, k = 0, a² = 1, b² = 1
พจน์ x² เป็นบวกและพจน์ y² เป็นลบ (เครื่องหมายต่างกัน) จึงเป็นไฮเพอร์โบล
พจน์บวกเป็นพจน์ x จึงมีแกนตามขวางขนานกับแกน X

ตอบ ตัวเลือกที่ 4. ไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน X

วิธีทำ จัดรูปสมการ
y² − x² + 6x − 8 = 0
y² − (x² − 6x + 8) = 0
y² − [(x − 3)² − 1] = 0
y² − (x − 3)² = −1
(x − 3)² − y² = 1

สมการอยู่ในรูป (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 โดย h = 3, k = 0, a² = 1, b² = 1
พจน์ x² เป็นบวกและพจน์ y² เป็นลบ (เครื่องหมายต่างกัน) จึงเป็นไฮเพอร์โบล
พจน์บวกเป็นพจน์ x จึงมีแกนตามขวางขนานกับแกน X

ตอบ ตัวเลือกที่ 4. ไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน X

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับ
บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ออกสอบ A-Level กี่ข้อ?
ตอบ บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ออกสอบปีละประมาณ 2 – 3 ข้อ ครับ

ภาคตัดกรวยมีกี่แบบ อะไรบ้าง?
ตอบ มี 4 แบบ คือ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา เกิดจากการใช้ระนาบตัดกรวยกลมตรงในมุมต่างกัน ครับ

เส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือตั้งฉากกัน ดูจากอะไร?
ตอบ ดูจากความชัน ถ้า m₁ = m₂ เส้นตรงขนานกัน ถ้า m₁m₂ = −1 เส้นตรงตั้งฉากกัน ครับ

Video ตัวอย่างการสอน

คณิตศาสตร์ A-Level

5 Videos

แค่พื้นฐานดี ข้อนี้ก็ง่ายเลย! - Highlight เฉลยข้อสอบ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ปี 69