PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม คณิตศาสตร์ ม.ปลาย สรุปสูตร + แนวข้อสอบ A-Level

สรุปภาพรวม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม (Exponential and Logarithmic Functions) เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชันที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม โดยมีแนวคิดสำคัญ ได้แก่ สมบัติของเลขยกกำลัง สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล สมบัติของลอการิทึม และสมการกับอสมการลอการิทึม เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานสำคัญของการวิเคราะห์กราฟและการแก้สมการ ซึ่งเป็นเนื้อหาที่พบบ่อยในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์

สรุปสูตรและเนื้อหาสำคัญ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

1. เลขยกกำลัง (Exponents)

สมบัติของเลขยกกำลัง ให้ a,b,m และ n เป็นค่าคงที่ใดๆ

การเปรียบเทียบเลขยกกำลัง

ถ้า เลขฐาน > 1 แล้ว เลขชี้กำลังมากค่าจะยิ่งมาก
ถ้า 0 < เลขฐาน < 1 แล้ว เลขชี้กำลังมากค่าจะยิ่งน้อย

การเปรียบเทียบเลขยกกำลัง มีวิธีการได้แก่

ทำฐานให้เท่ากัน โดยพยายามจัดรูปให้เลขฐานเท่ากัน โดยหาเลขฐานร่วม แล้วแปลงเลขฐานเดิมของเลขที่จะเปรียบเทียบกันให้อยู่ในรูปยกกำลังของเลขฐานร่วม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เช่น

4⁴ เปรียบเทียบกับ 8³(2²)⁴ =2⁸ เปรียบเทียบกับ (2³)³=2⁹จะได้ว่า 2⁸ < 2⁹ เพราะฉะนั้น 4⁴ <8³

ทำเลขชี้กำลังให้เท่ากัน ถ้าเลขฐานเท่ากัน เลขฐานมากค่าจะยิ่งมาก เลขฐานน้อยค่าจะยิ่งน้อย ดังนั้น ถ้าจัดรูปให้เลขชี้กำลังเท่ากันได้ ก็จะสามารถเปรียบเทียบเลขฐานได้เลย เช่น

16⁶ เปรียบเทียบกับ 27⁴
(4²)⁶= 4¹² เปรียบเทียบกับ (3³)⁴= 3¹²
จะได้ว่า 4¹² > 3¹² เพราะฉะนั้น 16⁶ > 27⁴

กรณีเลขฐานติดลบ ให้พิจารณาว่า ถ้ายกกำลังแล้วยังติดลบอยู่หรือไม่ โดยแปลงเลขฐานเป็น -1 คูณกับ จำนวนที่เป็นบวก แล้วกระจายเลขยกกำลังเข้าไป แล้วพิจารณาว่าหลังกระจายเลขยกกำลังเข้าไปแล้ว -1 ยังคงอยู่หรือไม่
โดยพิจารณาดังนี้

ถ้า -1 ยกกำลังด้วยเลขคู่ จะได้ 1
ถ้า -1 ยกกำลังด้วยเลขคี่ จะได้ -1
ถ้า -1 ยกกำลังด้วยเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนเป็นเลขคี่ แล้ว
- ถ้าเศษเป็นเลขคู่ จะได้ 1
- ถ้าเศษเป็นเลขคี่ จะได้ -1
ถ้า -1 ยกกำลังด้วยเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนเป็นเลขคู่ จะหาค่าไม่ได้
จากนั้นจึงทำการเปรียบเทียบ โดยถ้ายังติดลบทั้งคู่ ตัวที่ติดลบเยอะกว่า จะมีค่าน้อยกว่า เช่น

(-9)⁵ เปรียบเทียบกับ (-9)⁴
(-1 × 9)⁵ เปรียบเทียบกับ (-1 × 9)⁴
(-1)⁵ × 9⁵ เปรียบเทียบกับ (-1)⁴ × 9⁴-1 × 9⁵ เปรียบเทียบกับ 1 × 9⁴
จะได้ว่า -9⁵ < 9⁴ เพราะฉะนั้น (-9)⁵ < (-9)⁴

2. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
เป็นฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้เร็วกว่าฟังก์ชันพหุนาม โดยเขียนอยู่ในรูปทั่วไปคร่าว ๆ ได้ว่า

y=a^x
โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1

ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล สามารถใช้อธิบายสิ่งต่าง ๆ ได้มากมาย เช่น

การแพร่พันธุ์ของสิ่งมีชีวิต
การคิดดอกเบี้ยทบต้น
การเติบโตของเครือข่ายโซเชียล (Social Network)
การสลายตัวของธาตุกัมมันตรังสี
การเย็นตัวของวัตถุร้อน

สมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชียล

เมื่อ a > 1 ฟังก์ชัน y = a^x จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
เมื่อ 0 < a < 1 ฟังก์ชัน y = a^x จะเป็นฟังก์ชันลด
โดเมนของฟังก์ชัน คือ R
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ R⁺

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล หากวาดกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล y = a^x จะได้ดังนี้

เมื่อ a > 1

เมื่อ 0 < a < 1

ข้อสังเกต

กราฟของฟังก์ชันผ่านจุด (0, 1) เสมอ
กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือแกน x เสมอ
กราฟของฟังก์ชัน y = a^x และ y = (1/a)^x = a^-x จะสมมาตรกัน โดยมีแกน y เป็นแกนสมมาตร

การแปลงกราฟเอกซ์โพเนนเชียล กราฟของสมการจะเหมือนกับกราฟเอกซ์โพเนนเชียล y = a^x ไปทางขวา h หน่วย และเลื่อนขึ้นไป k หน่วย ดังนั้น เพื่อที่จะวาดกราฟเอกซ์โพเนนเชียลให้ได้ง่ายขึ้น อาจจัดรูปสมการให้อยู่ในรูป y-k = a^x-h ก่อนดังรูป

เมื่อ a > 1

สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มี x อยู่ในเลขชี้กำลัง
การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล

แก้โดยการทำฐานให้เท่ากัน
- จัดรูปให้ทั้งสองข้างของสมการมีเลขฐานเท่ากัน
- จะได้ว่า เลขชี้กำลังของทั้งสองข้าง จะเท่ากัน
แก้โดยการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น
- หากไม่สามารถจัดรูปให้เลขฐานเท่ากันได้ อาจกำหนดให้พจน์ที่มี x อยู่ในเลขชี้กำลัง เป็นตัวแปรอื่น แล้วจึงค่อยแก้สมการ

3. ฟังก์ชันลอการิทึม
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีสมการเป็น

y = a^x , a > 0 , a ≠ 1

แล้วฟังก์ชันลอการิทึมจะมีสมการเป็น

x = a^y , a > 0 , a ≠ 1

ซึ่งหากจะเขียนให้อยู่ในรูป y ในเทอมของ x จะเขียนได้เป็น

y = log_ax

ซึ่งหมายถึง x = a^y ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึม คือ

f = {(x, y) | y = log_a x, a > 0, a ≠ 1}

ตัวอย่างเช่น
หาค่าของ log₂(32)

ให้ y = log₂(32)
จะได้ 2^y = 32
2^y = 2⁵
จะได้ว่า y = 5
ดังนั้น log₂(32) = 5

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากเป็นอินเวอร์สกัน กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จึงสมมาตรกันโดยมีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร ดังนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ a > 1

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ 0 < a < 1

สมบัติของลอการิทึม ให้ a, M, N เป็นจำนวนบวก ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 และ m, n เป็นจำนวนจริงใดๆ

แมนทิสซา และคาแรกเทอริสติก ให้ N เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็ม จะเขียน N ได้ในรูป

N = A×10ⁿ โดยที่ 1 ≤ A < 10 จะได้ว่า

logN = log (A×10ⁿ) โดยที่ log1 ≤ logA < log10
logN = logA + log10ⁿ
logN = logA + nlog10 โดยที่ 0 ≤ logA < 1
logN = logA + n

เรียก log A ว่า แมสทิสซา ของ log N ซึ่งค่าของ log A จะสามารถหาได้จากการเปิดตารางลอการิทึม
เรียก n ว่า คาแรกเทอริสติก ของ log N

สมการลอการิทึม คือ สมการที่มี x อยู่ในลอการิทึม โดยอาจอยู่ตรงเลขฐาน หรืออยู่หลัง log ก็ได้

การแก้สมการลอการิทึม

แก้โดยใช้นิยามของฟังก์ชันลอการิทึม
- ถ้า log_ax = M
- จะได้ว่า x = a^M
แก้โดยการทำฐานให้เท่ากัน
- ถ้า log_aM = log_aN
- จะได้ว่า M = N
แก้โดยการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น
- หากจัดรูปสมการไม่ได้อาจแทนค่าตัวที่ติด log ด้วยตัวแปรอื่น แล้วจึงแก้สมการ

ตัวอย่างโจทย์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ตัวอย่างโจทย์ เลขยกกำลัง
จงใช้สมบัติของเลขยกกำลังทำให้อยู่ในรูปแบบง่าย ((7³)^-2)^0.5

วิธีทำ

ตอบ ((7³)^-2)^0.5 = 1/343

ตัวอย่างโจทย์ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
จงแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลต่อไปนี้

4^x+5 = 8^2x-3

วิธีทำ

ตอบ x = 19/4

ตัวอย่างโจทย์ ฟังก์ชันลอการิทึม
จงแก้สมการลอการิทึมต่อไปนี้

log₅(x – 2) + 1 = log₅(x + 2)

วิธีทำ

ตอบ x = 3

วิเคราะห์แนวข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

สถิติการออกข้อสอบ A-Level ย้อนหลัง

บท	A-Level 67	A-Level 68	A-Level 69
เซต	1	2	1
ตรรกศาสตร์	2	1	1
จำนวนจริง	2	2	1
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน	1	1	3
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม	2	1	2
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย	2	3	3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	2	2	2
เมทริกซ์	1	2	1
เวกเตอร์	2	2	2
จำนวนเชิงซ้อน	2	1	2
หลักการนับเบื้องต้น	2	2	2
ความน่าจะเป็น	1	1	1
ลำดับและอนุกรม	3	3	2
แคลคูลัสเบื้องต้น	3	3	3
สถิต	2	1	2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น	2	3	2

จะเห็นว่า บทที่ออกบ่อย ได้แก่
– แคลคูลัสเบื้องต้น
– ลำดับและอนุกรม
– เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย
– ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
อย่าลืมเตรียมเนื้อหาบทเหล่านี้ให้ดีนะครับ

ส่วนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม จะออกเยอะบ้างเป็นบางปี ถ้ารู้หลักการแล้วโจทย์บทนี้จะไม่ยากเลย ควรเก็บให้ได้นะครับ

ตัวอย่างโจทย์ A-Level ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริง โดยที่ 2^x = 8(2^y) และ 2x + y = 6 แล้ว 2(3^x) + 4(3^-y) มีค่าเท่ากับเท่าใด

1. 18 2. 32 3. 58 4. 70 5. 96

วิธีทำ

จาก 2^x = 8(2^y)
2^x = 2^y+3 x = y + 3

จาก 2x + y = 6
2(y + 3) + y = 6
3y + 6 = 6
3y = 0
y = 0

ดังนั้น x = 3

แทนค่า 2(3^x) + 4(3^-y) = 2(3³) + 4(3⁰)
= 54 + 4
= 58

ตอบ ตัวเลือกที่ 3. 58

ตัวอย่างโจทย์ A-Level ฟังก์ชันลอการิทึม

วิธีทำ

ตอบ ตัวเลือกที่ 1. (3/8 , 1/2)

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ออกสอบ A-Level กี่ข้อ?
ตอบ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ออกสอบปีละประมาณ 1 – 2 ข้อ ครับ

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ต่างกันอย่างไร?
ตอบ ความฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลอยู่ในรูป y = a^x โดยตัวแปรอยู่ที่เลขชี้กำลัง ส่วนฟังก์ชันลอการิทึมอยู่ในรูป y = log_a x ซึ่งเป็นการย้อนกลับเพื่อหาเลขชี้กำลัง ดังนั้นทั้งสองฟังก์ชันจึงเป็น ฟังก์ชันผกผันกัน ครับ

การแก้สมการลอการิทึมต้องระวังเรื่องใด?
ตอบ ต้องตรวจสอบ เงื่อนไขของจำนวนภายในลอการิทึม ให้เป็นจำนวนบวกก่อนสรุปคำตอบ ครับ

Video ตัวอย่างการสอน

คณิตศาสตร์ A-Level

5 Videos

แค่พื้นฐานดี ข้อนี้ก็ง่ายเลย! - Highlight เฉลยข้อสอบ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ปี 69