PANYA SOCIETY

เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 2 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เมทริกซ์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ในข้อสอบ A – Level พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 1 – 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 เรื่อง “เมทริกซ์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เมทริกซ์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เมทริกซ์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • ระบบสมการเชิงเส้น
  • เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์
  • ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์
  • การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์
  • ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์
  • ตัวผกผันของเมทริกซ์
  • การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือ สมการที่ตัวแปรทุกตัวมีเลขยกกำลังเป็น 1

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถแก้สมการได้ตามปกติ
เช่น    2x + 1 = 5
            2x = 4
              x = 2

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 2 สมการ
เช่น    x + 3y = 8    เป็นสมการที่ (1)
        x – 2y = 3    เป็นสมการที่ (2)

คูณแต่ละสมการด้วยค่าคงที่ แล้วนำมาบวกลบกัน เพื่อกำจัด 1 ตัวแปร
       นำ (1) – (2) :     x + 3y – (x – 2y) = 8 – 3
                                            5y = 5
                                              y = 1
       แทน y = 1 ใน (1) :           x + 3(1) = 8
                                              x = 5

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 3 สมการ
เช่น    ระบบสมการ
                                     x + y + z = 2    เป็นสมการที่ (1)
                                     x + y – z = 4    เป็นสมการที่ (2)
                                   x + 2y + z = 4    เป็นสมการที่ (3)

นำ (1) – (2) :                              2z = -2
                                              z = -1
แทน z = -1 ใน (1) :               x + y – 1 = 2
                                         x + y = 3     เป็นสมการที่ (4)
แทน z = -1 ใน (2) :               x + y + 1 = 4
                                         x + y = 3
แทน z = -1 ใน (3) :             x + 2y – 1 = 4
                                       x + 2y = 5      เป็นสมการที่ (5)
นำ 2×(4) – (5) :       2x + 2y – (x + 2y) = 6 – 5
                                              x = 1
แทน x = 1 ใน (4) :                    1 + y = 3
                                             y = 2
ดังนั้น x = 1, y = 2, z = -1

เนื่องจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร คือ สมการเส้นตรง จึงอาจหาคำตอบของระบบสมการ 2 สมการ ได้ 3 แบบ
     1. หาคำตอบได้แน่นอน ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน
     2. หาคำตอบไม่ได้ ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองขนานกัน และไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน
     3. มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ คือ สิ่งที่เก็บข้อมูลกลุ่มหนึ่งไว้ โดยตำแหน่งของข้อมูลมีความสำคัญ ไม่สามารถสลับตำแหน่งของข้อมูลได้ สามารถเขียนได้โดย นำข้อมูลมาเขียนเรียนเป็นแถวและหลัก ไว้ในวงเล็บ [ ]

เช่น

กำหนดเมทริกซ์

  • เมทริกซ์ A มีขนาด (มิติ) m × n หมายความว่า เมทริกซ์ A มีจำนวน m แถว และมี n หลัก
  • เรียกสมาชิกที่อยู่ตำแหน่ง แถวที่ i หลักที่ j ว่า aij

ชนิดของเมทริกซ์

1. เมทริกซ์แถว คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 แถว ซึ่งจะมีมิติ = 1 × n

2. เมทริกซ์หลัก คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลัก ซึ่งจะมีมิติ = m × 1

3. เมทริกซ์ศูนย์ คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0

4. เมทริกซ์จตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก ซึ่งจะมีมิติ = k × k

5. เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก (แนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา) เป็นเลข 1 และสมาขิกที่เหลือเป็น 0

6. เมทริกซ์ทแยงมุม คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกซึ่งไม่อยู่ในแนวทแยงมุมหลักเป็น 0 ทั้งหมด

7. เมทริกซ์สเกลาร์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และสมาชิกที่เหลือเป็น 0

8. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

9. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือแนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับให้แถวเป็นหลัก ให้หลักเป็นแถว
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย At

เช่น

  • สมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะมีค่าเท่ากับ สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i ของเมทริกซ์ At
  • ถ้าเมทริกซ์ A มีมิติ = m × n แล้วเมทริกซ์ At มีมิติ = n × m
  • เมทริกซ์ (At)t จะเท่ากับ เมทริกซ์ A
  • ถ้าเมทริกซ์ At = A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์สมมาตร

การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่

ให้ k เป็นค่าคงที่

  • ถ้าเมทริกซ์ At = -A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์เสมือนสมมาตร

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ เมื่อมีมิติเท่ากัน และสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

เช่น

การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้เมื่อมีมิติเท่ากัน โดยนำตัวที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมาบวกหรือลบกัน

เช่น

สมบัติของการบวกเมทริกซ์

ให้ A, B, C เป็นเมทริกซ์ c, d เป็นค่าคงที่ และ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์
1. มิติของ A + B = มิติของ A = มิติของ B
2. A + B = B + A
3. (A + B) + C = A + (B + C)
4. A + 0 = 0 + A = A
5. A + (-A) = (-A) + A = 0
6. c(A + B) = cA + cB
7. (c + d)A = cA + dA
8. (cd)A = c(dA) = (dc)A = d(cA)
9. 1A = A
10. 0A = 0

การคูณเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ A จะคูณกับ B ได้ เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B
   ถ้า A มีมิติ m × n และ B มีมิติ n × p จะได้ A × B มีมิติ m × p

2. ให้ C = A × B
   จะได้ว่า Cxy หาได้จาก การนำแถวที่ x ของ A มากระทำกับหลักที่ y ของ B

   โดย Cxy = (ตัวที่ 1 ของแถว A)(ตัวที่ 1 ของหลัก B) + (ตัวที่ 2 ของแถว A)(ตัวที่ 2 ของหลัก B) + …

เช่น

สมบัติของการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ยกกำลัง

เมทริกซ์ที่ยกกำลังได้ จะต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส

เช่น

ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์

เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส มีค่าเป็นจำนวนจริง
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det A = |A|

เมทริกซ์ 2 × 2 หา det โดยการคูณแนวทแยงมุมหลัก ลบด้วยการคูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

เมทริกซ์ 3 × 3 หา det ได้โดยเติมสองหลักแรกต่อจากเมทริกซ์เดิม
แล้วหา det โดยคูณแนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา ลบด้วย คูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

ข้อควรรู้

  • เมทริกซ์ที่มี det เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน
  • เมทริกซ์ที่มี det ไม่เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ไมเนอร์

โคแฟกเตอร์

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ c เป็นค่าคงที่

1. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดเป็น 0 ทั้งหมด แล้ว det⁡ A = 0
2. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดซ้ำกัน แล้ว det ⁡A = 0
3. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือสามเหลี่ยมล่าง แล้ว det ⁡A = ผลคูณของแนวทแยงมุมหลัก
4. det⁡(AB) = det⁡(A)∙det⁡(B)
5. det⁡(An)= (det⁡A)n
6. det⁡(I) = 1
7. det⁡(At) = det⁡(A)
8. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้ว det ⁡B = c det ⁡A
9. det⁡(cA) = cn det⁡ A เมื่อ A มีมิติ = n × n
10. det⁡(0) = 0
11. ถ้า B เกิดจากการสลับแถวหรือสลับหลักของ A แล้ว det⁡ B = -det ⁡A
12. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้วนำไปบวกกับแถวหรือหลักอื่นของ A
    จะได้ det⁡ B = det ⁡A

ตัวผกผันของเมทริกซ์

เมทริกซ์ผกผันของ A คือ เมทริกซ์ที่เมื่อนำมาคูณกับ A แล้วได้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วย A-1

จะได้ว่า                                      A A-1 = A-1 A = In


เมทริกซ์ 2 × 2


สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

การแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์แต่งเติม

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. แต่งเติมเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B แล้วใช้การดำเนินการตามแถว
   ทำให้เมทริกซ์ A กลายเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว โดยจะมีลักษณะดังนี้
       1.) ในแต่ละแถว ตัวเลขแรกที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็นเลข 1
       2.) ตัวเลขที่อยู่ใต้เลข 1 ตัวแรก ต้องเป็น 0
       3.) เลข 0 ที่อยู่ก่อนเลข 1 ตัวแรก จะต้องเพิ่มขึ้นทุกแถว
       4.) ถ้ามีแถวที่เป็น 0 ทั้งหมด แถวต่อ ๆ ไป ต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด
3. เขียนระบบสมการใหม่ จากเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว จะได้ค่าของตัวแปร 1 ตัว
4. แทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการอื่น เพื่อหาค่าตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง

การแก้ระบบสมการด้วยกฎของเครเมอร์

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. หา x1 โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 1 ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A
3. หา xn โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ n ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A

ตัวอย่าง

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า เมทริกซ์ ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ จำนวนจริง ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “จำนวนจริง” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ เวกเตอร์ มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่นอตกลางทางนะครับ

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทที่ 3 เวกเตอร์

SHARE: