PANYA SOCIETY

เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

เดินทางมาสู่บทที่ 3 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เวกเตอร์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ในข้อสอบ A – Level พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 2 ข้อในทุกปี

นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 เรื่อง “เวกเตอร์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

อย่างที่กล่าวข้างต้น เวกเตอร์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เวกเตอร์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
ผลคูณเชิงสเกลาร์
ผลคูณเชิงเวกเตอร์

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์

เวกเตอร์

เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
เช่น การบอกทางให้คนเดินไป ถ้าบอกแค่ว่า เดินไป 10 ก้าว จะยังไม่รู้ว่าต้องเดินไปทางไหน ต้องบอกว่า เดินไปในทิศทางไหนด้วย

เนื่องจากเวกเตอร์เป็นปริมาณที่บอกขนาดและทิศทางเท่านั้น ไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเริ่มจากจุดใดและไปจบที่จุดใด
ดังนั้นเราสามารถเลื่อนเวกเตอร์ได้ แต่ต้องไม่เปลี่ยนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์นั้น

เช่น พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้ว่า

เมื่อมีเวกเตอร์หนึ่งที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ u แต่มีทิศตรงข้ามกัน จะเรียกเวกเตอร์นั้นว่า -u

การบวกเวกเตอร์

* การลบเวกเตอร์ u – v จะหาได้จาก v + (-u)

การคูณด้วยสเกลาร์

การคูณค่าคงที่ c กับเวกเตอร์หนึ่ง จะทำให้ขนาดของเวกเตอร์นั้นเพิ่มขึ้นเป็น c เท่า
– ถ้า c เป็นบวก เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางเดิม
– ถ้า c เป็นลบ เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางตรงกันข้าม
เช่น

สมบัติการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

ให้ u เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุด x₁, y₁, z₁ ไปยัง x₂, y₂, z₂ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังรูป

จะสามารถเขียนเวกเตอร์ในรูปคู่อันดับ ได้ดังนี้

(x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁)

หรือสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์หลัก ได้ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์ ก็คือ ความยาวของเวกเตอร์นั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง
ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วย |u|

เมื่อเวกเตอร์ u = (a, b, c) จะสามารถหาขนาดของเวกเตอร์ ได้จาก

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

จะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ u ได้จาก

ผลคูณเชิงสเกลาร์

สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

การประยุกต์ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์

คุยกันท้ายบท

จะเห็นได้ว่า “เวกเตอร์” ในคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “เมทริกซ์” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “เมทริกซ์” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในเทอมต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “ม.5 เทอม 2” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่นอตกลางทางนะครับ

บทที่ 2 เมทริกซ์

กลับหน้าบทความหลัก

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557