PANYA SOCIETY
ตรรกศาสตร์
สรุปเนื้อหาที่สำคัญ
กลับมาพบกันอีกครั้งกับพี่นอต แห่ง Panya Society ในบทความ สรุปเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ มัธยมปลาย ระดับชั้น ม.4 เทอม 1 นะครับ วันนี้พี่นอตขอนำเสนอในเรื่อง “ตรรกศาสตร์” ครับ “ตรรกศาสตร์” เป็นบทถัดมาจากเรื่อง “เซต” ที่น้องๆจะได้เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์ ม. 4 เทอม 1 โดย “ตรรกศาสตร์” จะเป็นเรื่องที่กล่าวถึงการให้เหตุผล การโต้แย้งที่สมเหตุสมผลในเรื่องต่างๆ ที่เกิดขึ้นรอบตัวเรา และก็ยังเป็นบทเรียนที่สำคัญ ในการนำไปใช้เป็นพื้นฐานเพื่อประยุกต์สู่เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมปลายที่จะมีความเข้มข้นมากขึ้น
นั้นทำให้บทเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 เรื่อง “ตรรกศาสตร์” มีความสำคัญเป็นอย่างยิ่งที่น้องๆจะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และปูพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อเตรียมความพร้อมในการรับมือกับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย และใช้ในการทำข้อสอบที่มีความหลากหลายและโจทย์ที่ประยุกต์หลายๆ บทเรียนเข้าไว้ด้วยกัน เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจ โดยมี “ตรรกศาสตร์” เป็นส่วนหนึ่งของชุดความรู้สำคัญที่จำเป็นต้องนำไปประยุกต์ได้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS ต่อไป ในข้อสอบ A – Level คณิตศาสตร์ ดังนั้นน้องๆ อย่าทิ้งบทนี้นะครับ หมั่นทบทวนเนื้อหา และไม่ลืมที่จะเก็บเนื้อหาสาระสำคัญต่างๆด้วยนะครับ
เนื้อหาหลักของบทนี้ประกอบด้วย รายละเอียดบทย่อย ดังนี้
ประพจน์
ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกค่าความจริงว่า เป็นจริงหรือเท็จได้ จะอยู่ในรูปแบบของประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ มักใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s หรือตัวอักษรอื่นๆในการแทนประพจน์
ข้อสังเกต ประโยคที่จะเป็นประพจน์ได้จะต้องไม่มีความกำกวม ต้องสามารถตอบได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
ตัวอย่างเช่น ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่
- 1 + 1 = 8 เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จ
- กรุงเทพฯเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นจริง
- นั่นคือตัวอะไร ไม่เป็น เพราะเป็นประโยคคำถาม
- x เป็นจำนวนจริง ไม่เป็น เพราะไม่รู้ว่า x คืออะไร
การเชื่อมประพจน์
การเชื่อมประพจน์ มีด้วยกัน 4 แบบ ได้แก่
- และ (∧) เป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ T ∧ T เป็น T
- หรือ (∨) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ F ∨ F เป็น F
- ถ้า…แล้ว (→) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ T → F เป็น F
- ก็ต่อเมื่อ (↔) ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ
หรือดังตารางต่อไปนี้
| p | q | p∧q | p∨q | p→q | p↔q |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
ค่าความจริงของประพจน์
การหาค่าความจริงของประพจน์ โดยที่โจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให้ ต้องพิจารณาค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากประพจน์ย่อยๆ วิธีที่นิยมคือการสร้างตารางค่าความจริง
ซึ่งถ้ามีประพจน์ย่อยทั้งหมด n ประพจน์ จะได้ค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 2n กรณี
ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ (p∨q)↔p
วิธีทำ ประพจน์ (p∨q)↔p มีประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ คือ p และ q ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 22 = 4 กรณี สามารถสร้างตารางได้ดังนี้| p | q | p∨q | (p∨q)↔p |
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T |
การสมมูลและนิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ (จากจริงเป็นเท็จ/จากเท็จเป็นจริง) สามารถเขียนแทนนิเสธของประพจน์ p ได้ด้วย ~p
การสมมูลของประพจน์ การที่ประพจน์ 2 ประพจน์สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้ง 2 ประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกรณี สามารถเขียนแทนการสมมูลด้วย “≡”
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
- ~(~p) ≡ p
- p∧q ≡ q∧p
- p∨q ≡ q∨p
- p↔q ≡ q↔p
- p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r
- p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r
- p↔(q↔r) ≡ (p↔q)↔r
- p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
- p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
- p→q ≡ ~p∨q
- p→q ≡ ~q→~p
- p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
- ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
- ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
- ~(p→q) ≡ ~(~p∨q) ≡ p∧~q
- ~(p↔q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q
- ~(p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p)
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือไม่
วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงได้ 4 กรณี ได้ดังนี้
| p | q | ~p | ~p→q | p∨q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | F |
จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p→q และ p∨q พบว่ามีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือ ~p→q ≡ p∨q
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่จะมีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
วิธีการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์
- สร้างตารางค่าความจริง ให้สร้างตารางค่าความจริง แล้วดูค่าความจริงขั้นสุดท้ายของประพจน์ว่าเป็นจริง (T) ทุกกรณีหรือไม่ ถ้าเป็นจริงทุกกรณีแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
- การใช้สมบัติข้อขัดแย้ง โดยสมมติให้ประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) จากนั้นวิเคราะห์ย้อนกลับไปยังประพจน์ย่อยๆ เพื่อดูค่าความจริงของประพจน์ว่าขัดแย้งกันหรือไม่
- ถ้าขัดแย้งกันแสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรัดร์
- ถ้าไม่ขัดแย้งกันแสดงว่า มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็ไม่เป็นสัจนิรัดร์
การอ้างเหตุผล คือ การสรุปว่าสิ่งที่ระบุมานั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ เริ่มจากนำข้อความที่กำหมดให้ซึ่งจะมี เหตุ(P) และ ผล(C) โดยนำ “เหตุ” ทั้งหมดมาเชื่อมด้วย “และ (∧)” แล้วนำไปเชื่อมด้วย “ถ้าแล้ว (→)” กับ “ผล” แล้วดูว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์แปลว่าข้อความนั้นสมเหุสมผล
ตัวอย่าง การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
- เหตุ
- p→q
- ~q
- ผล
- ~p
วิธีทำ นำเหตุทั้งหมดมาเชื่อมกันด้วย ∧ แล้วเชื่อมกับผลด้วย → จะได้ [(p→q)∧~q]→~p แล้วตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริงดังนี้
| p | q | ~p | ~q | p→q | (p→q)∧~q | [(p→q)∧~q]→~p |
| T | T | F | F | T | F | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
จากตารางค่าความจริงพบว่าประพจน์ [(p→q)∧~q]→~p เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิด
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรแล้วเมื่อแทนตัวแปรลงไปจะได้เป็นประพจน์ เช่น
- a เป็นจำนวนคี่
- คนสวมเสื้อสีแดงอ่อน
ตัวบ่งปริมาณ คือ ข้อความที่บอกเงื่อนไขของค่าตัวแปรที่จะนำไปแทน เพื่อให้ประโยคเปิด กลายเป็นประพจน์ มี 2 แบบ คือ
- ∀x หมายถึง x ทุกตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์
- ∃x หมายถึง x บางตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์
คุยกันท้ายบท
เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาและแบบฝึกหัดของเรื่อง “ตรรกศาสตร์” คงจะไม่ยากเกินไปใช่ไหมครับ รวมไปถึงตอนนี้น้องๆคงจะเห็นได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มีความแตกต่างกันอย่างไรกับตอนช่วง ม.ต้น ซึ่งวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 จะเป็นช่วงของการปูพื้นฐาน และปรับความพร้อมให้กับน้องๆในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไปทั้งตลอดระดับชั้น และอย่างที่พี่นอต ได้เกรินไว้ว่าเรื่อง “ตรรกศาสตร์” นี้เองก็จะเป็นพื้นฐานในการต่อยอดไปยังเนื้อหาอื่นๆ ซึ่งจะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นไปอีก รวมไปถึงยังสามารถพบเห็นในได้ในการเรียนระดับมหาวิทยาลัยในบางคณะ เช่น คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์ รวมไปถึงคณะวิทยาศาสตร์บางสาขาอีกด้วย ดังนั้นพี่จึงอยากให้น้องๆทุกคนควรให้ความสำคัญกับการเรียนเพื่อความเข้าใจสูงสุดในเนื้อหาของบทเรียนต่างๆ พร้อมกับฝึกทำโจทย์บ่อยๆ
และถ้าน้องๆคนไหนอยากได้เนื้อหาที่ละเอียดกว่านี้ รวมไปถึงแบบฝึกหัดที่เข้มข้นกว่านี้ พี่นอตขอแนะนำคอร์สวิชา “คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1” จากทาง Panya Society ที่มีการปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับยาก เน้นความเข้าใจ ไม่เน้นการท่องจำ พร้อมทั้งแบบฝึกหัด รวมไปถึงตัวอย่างข้อสอบจากข้อสอบจริงในการสอบเข้าระดับมหาวิทยาลัย A – Level ทำให้คอร์สนี้เหมาะกับน้องๆ ทุกคนที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ หรือไปเรียนพิเศษคณิตศาสตร์จากที่อื่นมาแล้วก็ยังไม่เข้าใจ ด้วยการสอนคณิตศาสตร์อย่างบูรณาการ พี่ๆทั้งสองคนรับรองได้เลยว่าคอร์สจากทาง Panya Society นี้จะแตกต่างกับที่เรียนพิเศษคณิตศาสตร์ที่อื่นๆ อย่างแน่นอน
สุดท้ายนี้พี่นอตหวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมไปถึงวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลายไปตลอดทั้งระดับชั้น และขอให้น้องๆประสบความสำเร็จในการเรียนเทอมนี้ ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แล้วกันใหม่ในสรุปเนื้อหาเรื่อง “จำนวนจริง” นะครับ 🙂
- ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
- ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
- จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
- ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557
ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต
Math Magic
เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด
: คอร์สแนะนำ :
TAG:
คณิตศาสตร์, ม.4, เทอม 1, เซต, PAT1, 9 วิชาสามัญ, A – Level