นิยามของเซต เซต คือ คำที่ใช้บ่งบอกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ทำให้ทราบว่าเมื่อพูดถึงกลุ่มใดแล้วก็จะทราบได้อย่างแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม โดยจะเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิกของเซต เช่น

เซตของอักษรสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุ่มของอักษร a, e, i, o, และ u

• จำนวนสมาชิกเซต A เขียนแทนด้วย n(A)
• a เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย a ∈ A
• b ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย b ∉ A

การเขียนเซต เซตสามารถเขียนได้สองแบบคือ แบบแจกแจงสมาชิก กับ แบบมีเงื่อนไข

• แบบแจกแจงสมาชิก แสดงสมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซตนั้นในวงเล็บ { } คั่นด้วยเครื่องหมาย , เช่น A = { a, b, c, d, f }
• แบบบอกเงื่อนไข แสดงสมาชิกโดยการเขียนเป็นเงื่อนใข ในรูป {สมาชิก I เงื่อนไข} เช่น B = { 2, 4, 6, 8 | จำนวนเต็มคู่บวกที่น้อยกว่า 10 }

ชนิดของเซต

• เซตอนันต์ มีจำนวนสมาชิกมากไม่มีสิ้นสุด เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก = { 1, 2, 3, 4, … }
• เซตจำกัด สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น เซตของชื่อวันในสัปดาห์ = { วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, … , วันเสาร์, วันอาทิตย์ }
• เซตว่าง (∅, { }) เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย และเซตว่างก็นับว่าเป็นเซตจำกัด

การเท่ากันของเซต การเท่ากันของเซต จะต้องมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว (สลับที่สมาชิกได้) สมาชิกที่ซ้ำกันจะนับเป็นตัวเดียวกันไม่นับซ้ำ เขียนแทนด้วย A = B

เอกภพสัมพัทธ์ คือ ขอบเขตที่เราสนใจ สมาชิกทุกตัวของเซตต่าง ๆ จะต้องอยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ มักใช้สัญลักษณ์ U

สับเซต A เป็นสับเซตของ B แปลว่าสมาชิกทุกตัวของ A ต้องมีอยู่ใน B จะเป็นเซตที่เท่ากันเลยก็ได้ (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต มีสัญลักษณ์การเป็น และไม่เป็นสับเซต คือ ⊂, ⊄ ตามลำดับ) เช่น กำหนดให้

• A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
• B = { 2, 4 }
• C = { 3, 5, 7 }

ดังนั้น B ⊂ A แต่ C ⊄ A

สมบัติเกี่ยวกับสับเซตที่น่าสนใจ

1. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B
2. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
3. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง คือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว A ⊂ A
4. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต คือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว ∅ ⊂ A
5. ถ้า n(A) = n แล้ว จำนวนสับเซตของเซต A เท่ากับ 2ⁿ สับเซต

พาวเวอร์เซต พาวเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) หมายถึง เซตของสับเซตทั้งหมดของ A และจำนวนของสมาชิกของพาวเวอร์เซตหาได้จาก

n(P(A))= 2ⁿ

เช่น กำหนดให้ A = { 1, 2 } จงหาสับเซต และพาวเวอร์เซตของ A

วิธีทำ

• สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {2}, {1,2}
• ดังนั้น พาวเวอร์เซตของ P(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }
• n(P(A))= 2ⁿ = 2² = 4

สมบัติเกี่ยวกับพาวเวอร์เซตที่น่าสนใจ เมื่อ A, B, X เป็นเซตใดๆ

1. X ∈ P(A) ก็ต่อเมื่อ X ⊂ A
2. A ∈ P(A)
3. สำหรับทุกเซต A ใดๆ จะได้ว่า ∅ ∈ P(A) และ ∅ ⊂ P(A) ด้วย
4. P(A) ≠ ∅ สำหรับทุกๆเซต A
5. P(∅) = {∅}
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
7. ถ้า A เป็นเซตจำกัด ซึ่ง n(A) = n แล้ว n(P(A)) = 2ⁿ
8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ แล้ว P(A) เป็นเซตอนันต์