PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาหลักการนับเบื้องต้น คณิตศาสตร์ ม.ปลาย สรุปสูตร + แนวข้อสอบ A-Level

เขียนโดย ทีมวิชาการ panya society · เผยแพร่เมื่อ 2 พฤศจิกายน 2569 · ปรับปรุงล่าสุด 2 พฤศจิกายน 2569

สรุปภาพรวม

หลักการนับเบื้องต้น (Basic Counting Principles) เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ศึกษาเกี่ยวกับวิธีนับจำนวนวิธีหรือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ โดยไม่ต้องไล่เขียนทีละกรณี โดยมีสูตรสำคัญ ได้แก่ n! = n(n − 1)(n − 2)…(2)(1), nPr = n!/(n − r)! และ nCr = n!/(r!(n − r)!) ซึ่งใช้วิเคราะห์กฎการคูณ กฎการบวก การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ และทฤษฎีบททวินาม เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานสำคัญของการแก้โจทย์ความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นเนื้อหาที่พบบ่อยในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์

สรุปสูตรและเนื้อหาสำคัญ
บทหลักการนับเบื้องต้น

ในการที่เราจะนับจำนวนสิ่งของ เหตุการณ์ หรือจำนวนวิธีในการทำงานบางอย่าง อาจจะสามารถนับได้โดยตรงจากการค่อยๆ ไล่นับไปจนครบ แต่หากสิ่งที่จะนับมีจำนวนมาก อาจจะทำให้การนับโดยตรงนั้นทำได้ยาก จึงมีหลักการนับสิ่งต่างๆ เบื้องต้น เพื่อช่วยให้การนับสิ่งที่มีจำนวนเยอะๆ ทำได้ง่ายขึ้น โดยแบ่งเป็น

หลักการบวก

ถ้าสามารถแบ่งการทำงานออกเป็นหลายกรณี จำนวนวิธีการทำงานทั้งหมด คือ ผลรวมของจำนวนวิธีการทำงานทุกกรณี แสดงออกมาในรูปแบบ

n₁ + n₂ + … + n_n

ตัวอย่างเช่น มีการบ้านวิชาคณิตศาสตร์ 2 ชิ้น วิชาภาษาอังกฤษ 3 ชิ้น และวิชาภาษาไทย 1 ชิ้น จะมีการบ้านให้เลือกทำกี่วิธี?

วิธีทำ

มีการบ้านวิชาคณิตศาสตร์ 2 ชิ้น
มีการบ้านวิชาภาษาอังกฤษ 3 ชิ้น
มีการบ้านวิชาภาษาไทย 1 ชิ้น

ดังนั้น จะมีการบ้านให้เลือกทำ 2 + 3 + 1 = 6 วิธี

หลักการคูณ

ถ้าการทำงานแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอน จำนวนวิธีการทำงานทั้งหมด คือผลคูณของจำนวนวิธีการทำงานทุกขั้นตอน แสดงออกมาในรูปแบบ

n₁ ✕ n₂ ✕ … ✕ n_n

ตัวอย่างเช่น มีการบ้านวิชาคณิตศาสตร์ 2 ชิ้น วิชาภาษาอังกฤษ 3 ชิ้น และวิชาภาษาไทย 1 ชิ้น ถ้าวันนี้จะเลือกทำการบ้าน 2 ชิ้น โดยเมื่อทำการบ้านชิ้นแรกเสร็จ จะทำชิ้นที่ 2 ต่อ จะมีวิธีทำการบ้านในวันนี้กี่วิธี?

วิธีทำ

มีการบ้านทั้งหมด 6 ชิ้น
ขั้นตอนที่ 1 เลือกทำการบ้านชิ้นที่ 1 ซึ่งจะเป็นชิ้นใดก็ได้ มี 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกทำการบ้านชิ้นที่ 2 ต่อ โดยเลือกจากการบ้านชิ้นที่เหลือ มี 5 วิธี

ดังนั้น จะมีวิธีทำการบ้านในวันนี้ 6 ✕ 5 = 30 วิธี

การเรียงสับเปลี่ยน

ต่อเนื่องจากหลักการคูณ หากมีสิ่งของอยู่ n ชิ้นที่แตกต่างกันทั้งหมด แล้วต้องการจะนำสิ่งของ r ชิ้นจากสิ่งของที่มีอยู่ นำมาเรียงลำดับจะได้ว่า

ขั้นตอนที่ 1 เลือกของชิ้นที่ 1 มาวาง ซึ่งจะเป็นชิ้นใดก็ได้ มี n ชิ้น
ขั้นตอนที่ 2 เลือกของชิ้นที่ 2 มาวาง โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ 1 มี n-1 ชิ้น

.
.
.

ขั้นตอนที่ r เลือกของชิ้นที่ r โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ r-1 มี n-r+1 ชิ้น

ดังนั้น จำนวนวิธีในการนำสิ่งของมาเรียง = n ✕ (n-1) ✕ (n-2) ✕ … ✕ (n-r+1)
หรือเรียกอีกอย่างว่า แฟกทอเรียล เขียนแทนด้วย n! โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
โดย n! = n ✕ (n-1) ✕ (n-2) ✕ … ✕ 3 ✕ 2 ✕ 1
และ 0! = 1 *ระวังโดนหลอกกันนะครับน้องๆ*
การเรียงสับเปลี่ยนแบ่งออกเป็นอีก 3 อย่างด้วยกัน คือ

การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
มีสิ่งของ n ชิ้น ที่ไม่ซ้ำกัน ต้องการนำมาเรียง r ชิ้น จะมีจำนวนวิธีเรียง คือ

ตัวอย่าง มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1, 4, 6, 7, 9 จะนำมาสร้างเป็นเลข 5 หลักได้กี่จำนวน

วิธีทำ วิธีเรียงลำดับตัวเลขทั้ง 5 ตัว โดยนำมาเรียงทั้งหมด คือ P_5,5 = 5! = 120 วิธี

การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
มีสิ่งของ n ชิ้น โดยมีสิ่งของเหมือนกัน k กลุ่ม นำมาเรียงสับเปลี่ยน จะมีจำนวนวิธีเรียง คือ

ตัวอย่าง ต้องการนำตัวอักษรคำว่า “coffee” มาเรียงใหม่โดยไม่สนใจความหมาย จะเรียงได้กี่วิธี

วิธีทำ มีตัวอักษร f ซ้ำ 2 ตัว, e ซ้ำ 2 ตัว, c,o อย่างละ 1 ตัว
ดั้งนั้นจะเรียงได้ ^6!⁄_{2!✕2!✕1!✕1!} = 180 วิธี
จะเห็นได้ว่าสามารถพิจารณาเพียงตัวที่ซ้ำได้

การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดเชิงวงกลม
มีสิ่งของ n ชิ้น ที่ไม่ซ้ำกัน นำมาเรียงเป็นวงกลม จะมีจำนวนวิธีเรียง คือ

(n-1)!

ตัวอย่าง มีดอกไม้อยู่ 10 ดอก ที่แตกต่างกัน ต้องการนำดอกไม้ทั้ง 10 ดอกนี้มาร้อยเป็นพวงมาลัย จะร้อยพวงมาลัยได้กี่แบบ
วิธีทำ การร้อยพวงมาลัย ถือเป็นเรียงดอกไม้เป็นวงกลม ดังนั้นจะร้อยพวงมาลัยได้ (10-1)! = 9! = 362,880 แบบ

การจัดหมู่

การจัดหมู่ คือ การเลือกกลุ่มของสิ่งของมา โดยไม่คำนึงถึงลำดับในการเรียงของสิ่งของในกลุ่มที่เลือกมา หากกลุ่มใดมีสิ่งของในกลุ่มเหมือนกัน จะนับเป็นการจัดหมู่เพียง 1 วิธี เช่น การจัดกลุ่ม 3 คน เพื่อทำงานกลุ่ม กลุ่ม A มีสมาชิกคือ พลอย แป๊ก และหยา จะเห็นได้ว่า ถ้าเราเรียงสมาชิกใหม่เป็น หยา แป๊ก และพลอย, แป๊ก หยา และพลอย หรือเรียงแบบอื่นๆก็จะนับเพียงว่า พลอย แป๊ก และหยา อยู่กลุ่มเดียวกัน

การจัดหมู่สิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
มีสิ่งของ n ชิ้น ที่ไม่ซ้ำกัน ต้องการเลือกมา r ชิ้น จะมีจำนวนวิธีจัดหมู่ คือ

ตัวอย่าง ร้านไอศกรีมร้านหนึ่ง มีไอศกรีมอยู่ 6 รส แพรวต้องการสั่งไอศกรีม 2 รส จากร้านนี้ แพรวจะสั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ เลือกไอศกรีม 2 จากทั้งหมด 6 รส (⁶₂) = ^6!⁄_(6-2)!2! = 15 วิธี

ทฤษฎีบททวินาม

ในการกระจาย x + yⁿ เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก สามารถทำได้โดยนำ x หรือ y ของวงเล็บแรกเลือกคูณกับ x หรือ y ของวงเล็บต่อๆไป จนถึงวงเล็บที่ n จะได้ออกมา 1 พจน์ แล้วทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนครบทุกวิธี โดยวิธีในการเลือกแต่ละพจน์ต้องแตกต่างกัน แล้วจึงค่อยนำทุกพจน์มาบวกกัน แสดงอยู่ในรูปแบบดังนี้

(x + y)ⁿ = (n 0)xⁿ + (n 1)x^n-1y +…+ (n r)x^n-ry^r +…+ (n n)yⁿ

ตัวอย่าง จงกระจาย (x – y)³วิธีทำ (x – y)³ = (3 0)x³ + (3 1)x²(-y) + (3 2)x(-y)² + (3 3)(-y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

ตัวอย่างโจทย์ บทหลักการนับเบื้องต้น

ตัวอย่างโจทย์
บทหลักการนับเบื้องต้น

ตัวอย่างโจทย์ หลักการคูณ
มีการบ้านวิชาคณิตศาสตร์ 2 ชิ้น วิชาภาษาอังกฤษ 3 ชิ้น และวิชาภาษาไทย 1 ชิ้น ถ้าวันนี้จะเลือกทำการบ้าน 2 ชิ้น โดยเมื่อทำการบ้านชิ้นแรกเสร็จ จะทำชิ้นที่ 2 ต่อ จะมีวิธีทำการบ้านในวันนี้กี่วิธี?

วิธีทำ

มีการบ้านทั้งหมด 6 ชิ้น
ขั้นตอนที่ 1 เลือกทำการบ้านชิ้นที่ 1 ซึ่งจะเป็นชิ้นใดก็ได้ มี 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกทำการบ้านชิ้นที่ 2 ต่อ โดยเลือกจากการบ้านชิ้นที่เหลือ มี 5 วิธี

ดังนั้น จะมีวิธีทำการบ้านในวันนี้ 6 ✕ 5 = 30 วิธี

ตอบ มีวิธีทำการบ้านในวันนี้ 30 วิธี

ตัวอย่างโจทย์ การเรียงสับเปลี่ยน
ต้องการนำตัวอักษรคำว่า “coffee” มาเรียงใหม่โดยไม่สนใจความหมาย จะเรียงได้กี่วิธี

วิธีทำ

มีตัวอักษร f ซ้ำ 2 ตัว, e ซ้ำ 2 ตัว, c,o อย่างละ 1 ตัว
ดั้งนั้นจะเรียงได้ ^6!⁄_{2!✕2!✕1!✕1!} = 180 วิธี

ตอบ จะเรียงได้ 180 วิธี

ตัวอย่างโจทย์ การจัดหมู่
ร้านไอศกรีมร้านหนึ่ง มีไอศกรีมอยู่ 6 รส แพรวต้องการสั่งไอศกรีม 2 รส จากร้านนี้ แพรวจะสั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

เลือกไอศกรีม 2 จากทั้งหมด 6 รส ได้ (⁶₂) = ^6!⁄_(6-2)!2!
= 15 วิธี

ตอบ สั่งได้ทั้งหมด 15 วิธี

วิเคราะห์แนวข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์
บทหลักการนับเบื้องต้น

สถิติการออกข้อสอบ A-Level ย้อนหลัง

บท	A-Level 67	A-Level 68	A-Level 69
เซต	1	2	1
ตรรกศาสตร์	2	1	1
จำนวนจริง	2	2	1
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน	1	1	3
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม	2	1	2
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย	2	3	3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	2	2	2
เมทริกซ์	1	2	1
เวกเตอร์	2	2	2
จำนวนเชิงซ้อน	2	1	2
หลักการนับเบื้องต้น	2	2	2
ความน่าจะเป็น	1	1	1
ลำดับและอนุกรม	3	3	2
แคลคูลัสเบื้องต้น	3	3	3
สถิต	2	1	2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น	2	3	2

จะเห็นว่า บทที่ออกบ่อย ได้แก่
– แคลคูลัสเบื้องต้น
– ลำดับและอนุกรม
– เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย
– ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

สำหรับบทหลักการนับเบื้องต้น ก็ถือว่าออกสอบเยอะ และมีเนื้อหาไม่เยอะ โจทย์สามารถออกได้ตั้งแต่ง่าย ไปจนถึงยากมาก ถ้าใครถนัดบทนี้ก็อย่าลืมฝึกให้คล่องนะครับ

ตัวอย่างโจทย์ A-Level การจัดหมู่
การแข่งขันฟุตบอลระหว่างทีม A ทีม B ทีม C และทีม D แบบพบกันหมดคู่ละหนึ่งครั้ง โดยแต่ละคู่มีผลคือแพ้
หรือชนะเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ข้อใดเป็นจำนวนผลการแข่งขันที่มีทีมใดทีมหนึ่งชนะทุกทีมที่เหลือ
1. 8 2. 12 3. 32 4. 40 5. 64

วิธีทำ

นับแยกตามว่าทีมไหนเป็นทีมที่ชนะทุกนัด แล้วนำมารวมกัน (กฎการบวก) โดยในแต่ละกรณีใช้กฎการคูณนับผลของนัดที่เหลือ

จำนวนนัดทั้งหมด
จำนวนนัด = ⁴C₂ (เลือก 2 ทีมจาก 4 ทีมมาแข่งกัน)
⁴C₂ = 4!/(2! · 2!)
ได้ 6 นัด คือ AB, AC, AD, BC, BD, CD

กรณีทีม A ชนะทุกทีมที่เหลือ

นัดของทีม A ทั้ง 3 นัด (AB, AC, AD) ต้องให้ A ชนะ จึงมี 1 วิธีต่อนัด
นัดที่เหลือ 3 นัด (BC, BD, CD) ไม่เกี่ยวกับทีม A นัดละ 2 ผลลัพธ์

จากกฎการคูณ
ได้ 1 × 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 8 ผลการแข่งขัน

รวมทั้ง 4 ทีม
ทีม B, C, D ก็มีกรณีลักษณะเดียวกัน ทีมละ 8 ผลการแข่งขัน และ ไม่มีผลการแข่งขันใดที่ถูกนับซ้ำ เพราะไม่มีทางที่สองทีมจะชนะทุกทีมที่เหลือพร้อมกันได้ (สองทีมนั้นเจอกันเอง ต้องมีทีมหนึ่งแพ้)

จากกฎการบวก
ได้ 8 + 8 + 8 + 8 = 32 วิธี

ตอบ ตัวเลือกที่ 3. 32

ตัวอย่างโจทย์ A-Level การเรียงสับเปลี่ยน
ในการจัดตั้งคณะกรรมการชุดหนึ่งประกอบด้วยประธาน 1 คน เลขานุการ 1 คน และกรรมการกลาง 3 คน
โดยต้องเลือกคณะกรรมการชุดนี้จากตัวแทนเขต 9 คน ซึ่งมาจากเขต ก เขต ข และเขต ค เขตละ 3 คน
ภายใต้เงื่อนไขดังนี้
– แต่ละเขตต้องมีตัวแทนอยู่ในคณะกรรมการชุดนี้อย่างน้อย 1 คน
– ประธานกับเลขานุการต้องมาจากเขตที่ต่างกัน
จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดตั้งคณะกรรมการชุดดังกล่าว

วิธีทำ

เลือกประธานกับเลขานุการก่อน (เพราะมีเงื่อนไขเรื่องเขต) แล้วค่อยเลือกกรรมการกลาง 3 คน ซึ่งไม่เรียงลำดับ โดยต้องให้ครบทุกเขต

เลือกประธานและเลขานุการ (ลำดับสำคัญ และต้องต่างเขต)

จากกฎการคูณ
ประธาน 9 วิธี เลขานุการเลือกได้จากอีก 2 เขตที่เหลือ เขตละ 3 คน คือ 6 วิธี
ได้ 9 × 6 = 54 วิธี

เพราะสองคนนี้อยู่คนละเขต จึงมี เขตที่ยังไม่มีตัวแทน อยู่ 1 เขตพอดีเสมอ เรียกว่าเขต Z

เลือกกรรมการกลาง 3 คน ให้เขต Z มีตัวแทนอย่างน้อย 1 คน

คนที่เหลือมี 9 − 2 = 7 คน แบ่งเป็นเขตของประธาน 2 คน เขตของเลขานุการ 2 คน และเขต Z 3 คน

อย่างน้อย 1 คน = ทั้งหมด − กรณีไม่มีเขต Z เลย
⁷C₃ − ⁴C₃ (กรณีไม่มีเขต Z คือเลือกจาก 4 คนของ
ได้ 35 − 4 = 31 วิธี
(ไม่ต้องกังวลว่าเขตของประธานและเลขานุการจะขาด เพราะทั้งสองคนอยู่ในคณะกรรมการแล้ว)

รวมทั้งสองขั้นตอน

จากกฎการคูณ
ได้ 54 × 31 = 1,674 วิธี

ตอบ จัดตั้งคณะกรรมการได้ 1,674 วิธี

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับ
บทหลักการนับเบื้องต้น

บทหลักการนับเบื้องต้น ออกสอบ A-Level กี่ข้อ?
ตอบ บทหลักการนับเบื้องต้น ออกสอบปีละประมาณ 2 ข้อ ครับ

กฎการคูณกับกฎการบวก ต่างกันอย่างไร และเมื่อไรใช้อะไร?
ตอบ ถ้าต้องทำงาน หลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน (คิดว่า “แล้วก็”) ให้ใช้ กฎการคูณ เช่น เสื้อ 4 ตัว กางเกง 3 ตัว เลือกใส่ได้ 4 × 3 = 12 ชุด ถ้าเลือกทำ อย่างใดอย่างหนึ่ง (คิดว่า “หรือ”) ให้ใช้ กฎการบวก เช่น ไปเชียงใหม่ด้วยรถไฟ 3 เที่ยว หรือเครื่องบิน 5 เที่ยว ได้ 3 + 5 = 8 วิธี ครับ

การเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่ ต่างกันอย่างไร?
ตอบ ดูว่า ลำดับสำคัญหรือไม่ ถ้าสำคัญ ใช้การเรียงสับเปลี่ยน nPr = n!/(n − r)! ถ้าไม่สำคัญ ใช้การจัดหมู่ nCr = n!/(r!(n − r)!) เช่น เลือกประธานและรองประธานจาก 5 คน (ลำดับสำคัญ) ได้ 5P2 = 20 วิธี แต่เลือกกรรมการ 2 คนจาก 5 คน (ลำดับไม่สำคัญ) ได้ 5C2 = 10 วิธี ทั้งสองเชื่อมกันด้วย nPr = r! · nCr (20 = 2 × 10) ครับ

Video ตัวอย่างการสอน

คณิตศาสตร์ A-Level

5 Videos

แค่พื้นฐานดี ข้อนี้ก็ง่ายเลย! - Highlight เฉลยข้อสอบ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ปี 69