PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาจำนวนเชิงซ้อน คณิตศาสตร์ ม.ปลาย สรุปสูตร + แนวข้อสอบ A-Level

เขียนโดย ทีมวิชาการ panya society · เผยแพร่เมื่อ 26 ตุลาคม 2569 · ปรับปรุงล่าสุด 26 ตุลาคม 2569

สรุปภาพรวม

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ศึกษาเกี่ยวกับจำนวนในรูป a + bi เมื่อ i² = −1 ซึ่งขยายระบบจำนวนจริงให้แก้สมการที่ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงได้ โดยมีสูตรสำคัญ ได้แก่ z = a + bi, z = a − bi, |z| = √(a² + b²), z·z = |z|², z = r(cosθ + i sinθ) และ zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) ซึ่งใช้วิเคราะห์การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน สังยุค ค่าสัมบูรณ์ รูปเชิงขั้ว รากที่ n เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานสำคัญของการแก้สมการพหุนามและการวิเคราะห์จำนวนบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งเป็นเนื้อหาที่พบบ่อยในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์

สรุปสูตรและเนื้อหาสำคัญ
บทจำนวนเชิงซ้อน

1. จำนวนเชิงซ้อน
ให้ i=√-1 เรียกว่า หน่วยจินตภาพ
จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนที่เขียนอยู่ในรูป

z = a+bi หรือ (a,b)
โดย a,b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่า ส่วนจริงของ z(Re(z))
เรียก b ว่า ส่วนจินตภาพของ z(Im(z))

2. หน่วยจินตภาพ
การคำนวณค่าของ iⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้นำ n หารด้วย 4
• ถ้าเหลือเศษ 1 : iⁿ = i
• ถ้าเหลือเศษ 2 : iⁿ = -1
• ถ้าเหลือเศษ 3 : iⁿ = -i
• ถ้าหารลงตัว : iⁿ = 1

3. สมบัติของจำนวนเชิงซ้อน
• เอกลักษณ์การบวก คือ 0
• เอกลักษณ์การคูณ คือ 1
• อินเวอร์สการบวกของ z คือ –z
• อินเวอร์สการคูณของ z คือ z^-1 = ¹⁄_z

4. สังยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
ให้ z = a + bi สังยุคของ z เขียนแทนด้วย z

z = a – bi

สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ให้ z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของ z เขียนแทนด้วย |z|

|z| = √a² + b²

สมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

5. กราฟและรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน
ให้ z = a + bi จะเขียน z บนระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้

รูปชิงขั้วของ z เขียนได้เป็น

z = r(cos cos θ + i sin sin θ)
โดยที่ r = √a² + b² = |z| และ tanθ = ^b⁄_a

สมบัติของรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

6. รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน จะมี n รากโดยที่ k = 0, 1, 2, …, n-1
z_k+1 เป็นรากที่ n ของ z

ตัวอย่างโจทย์ บทจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างโจทย์ หน่วยจินตภาพ
จงหาค่าของ i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵ + i¹⁶วิธีทำ

i¹³: 13 ÷ 4 เศษ 1 ได้ i¹³ = i¹ = i

i¹⁴: 14 ÷ 4 เศษ 2 ได้ i¹⁴ = i² = −1

i¹⁵: 15 ÷ 4 เศษ 3 ได้ i¹⁵ = i³ = −i

i¹⁶: 16 ÷ 4 เศษ 0 ได้ i¹⁶ = i⁴ = 1

จะได้ว่า i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵ + i¹⁶ = i + (-1) + (-i) + 1 = 0

ตอบ i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵ + i¹⁶ = 0

ตัวอย่างโจทย์ สมการจำนวนเชิงซ้อน
จงหาจำนวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องกับสมการ (1 + 2i)z = 17 – i
วิธีทำ

ตอบ z = 3 – 7i

ตัวอย่างโจทย์ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8

วิธีทำ

ตอบ จงหารากที่ 3 ของ 8 ได้แก่ 2, −1 + √3 i และ −1 − √3 i

วิเคราะห์แนวข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์
บทจำนวนเชิงซ้อน

สถิติการออกข้อสอบ A-Level ย้อนหลัง

บท	A-Level 67	A-Level 68	A-Level 69
เซต	1	2	1
ตรรกศาสตร์	2	1	1
จำนวนจริง	2	2	1
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน	1	1	3
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม	2	1	2
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย	2	3	3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	2	2	2
เมทริกซ์	1	2	1
เวกเตอร์	2	2	2
จำนวนเชิงซ้อน	2	1	2
หลักการนับเบื้องต้น	2	2	2
ความน่าจะเป็น	1	1	1
ลำดับและอนุกรม	3	3	2
แคลคูลัสเบื้องต้น	3	3	3
สถิต	2	1	2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น	2	3	2

จะเห็นว่า บทที่ออกบ่อย ได้แก่
– แคลคูลัสเบื้องต้น
– ลำดับและอนุกรม
– เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย
– ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

สำหรับบทจำนวนเชิงซ้อน ถึงจะออกไม่เยอะมาก แต่เนื้อหาก็ไม่ได้เยอะ ส่วนมากต่อยอดมาจากบทจำนวนจริง ถ้าใครมีเวลาก็อย่ามองข้ามบทนี้นะครับ

ตัวอย่างโจทย์ A-Level เรขาคณิตวิเคราะห์
ถ้า z₁ = 3 − 2i และ z₂ = 1 + 5i แล้ว |z₁² + 2z₁z₂ + z₂²| มีค่าเท่าใด
วิธีทำ

z₁² + 2z₁z₂ + z₂² = (z₁ + z₂)²
z₁ + z₂ = (3 − 2i) + (1 + 5i)
z₁ + z₂ = 4 + 3i

|(z₁ + z₂)²| = |z₁ + z₂|²
|4 + 3i|² = (√(4² + 3²))²
|4 + 3i|² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

ตอบ |z₁² + 2z₁z₂ + z₂²| = 25

ตัวอย่างโจทย์ A-Level กราฟภาคตัดกรวย
กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพมีค่ามากกว่าศูนย์ ถ้า z⁶ + 1 = 0 แล้ว 1 + z² + z⁴ มีค่าเท่ากับเท่าใด

1. 1 − √3 i 2. 1 + √3 i 3. −1 + √3 i 4. 2 − √3 i 5. 2 + √3 i

วิธีทำ

z⁶ = −1 = cos180° + i sin180°

z_k = cos((180° + 360°k)/6) + i sin((180° + 360°k)/6) เมื่อ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

มุมของรากทั้ง 6 ตัวคือ 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพต้องมากกว่าศูนย์ทั้งคู่ (cos > 0 และ sin > 0 อยู่ควอดรันต์ที่ 1)

ได้ z = cos30° + i sin30° = √3/2 + (1/2)i

จาก zⁿ = cos(n × 30°) + i sin(n × 30°)
z² = cos60° + i sin60° = 1/2 + (√3/2)i
z⁴ = cos120° + i sin120° = −1/2 + (√3/2)i

1 + z² + z⁴ = 1 + (1/2 + (√3/2)i) + (−1/2 + (√3/2)i)
= (1 + 1/2 − 1/2) + (√3/2 + √3/2)i
= 1 + √3 i

ตอบ ตัวเลือกที่ 2. 1 + √3 i

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับ
บทจำนวนเชิงซ้อน

บทจำนวนเชิงซ้อน ออกสอบ A-Level กี่ข้อ?
ตอบ บทจำนวนเชิงซ้อน ออกสอบปีละประมาณ 1 – 2 ข้อ ครับ

จำนวนจริงเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วยหรือไม่?
ตอบ เป็นครับ จำนวนจริงคือจำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจินตภาพเป็น 0 เช่น 7 = 7 + 0i ส่วนจำนวนที่ส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 เช่น 5i เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ ครับ

จำนวนเชิงซ้อนเอาไปใช้ทำอะไรในชีวิตจริง?
ตอบ ใช้ในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เช่น การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ การประมวลผลสัญญาณ (เช่น เสียงและภาพ) กลศาสตร์ควอนตัมที่ใช้ฟังก์ชันคลื่นเป็นจำนวนเชิงซ้อน และการหมุนภาพในคอมพิวเตอร์กราฟิก 2 มิติ ซึ่งการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 ทำให้เกิดการหมุนบนระนาบ ครับ

Video ตัวอย่างการสอน

คณิตศาสตร์ A-Level

5 Videos

แค่พื้นฐานดี ข้อนี้ก็ง่ายเลย! - Highlight เฉลยข้อสอบ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ปี 69