เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว ความสัมพันธ์ มีนิยามดังต่อไปนี้

       ความสัมพันธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ โดยที่คู่อันดับแต่ละคู่ เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซตสองเซต เช่น

• {(A, X), (B, Y), (C, Z), (D, W)}
• {(Galaxy Note 10, Samsung), (iPhone 11, Apple), (Find X, Oppo), …}
• {(1, 1), (2, 4), (3, 9), …}

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาค่า x,y เมื่อ (x + 1, 2y) = (-5, 11) เฉลย

        ผลคูณคาร์ทีเชียน เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบดังนี้

A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

***ข้อสังเกต “ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A,B ทุกอันต้องเป็นสับเซตของ A×B”***

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาผลคูณคาร์ทีระหว่างเซตต่อไปนี้ {a, b} และ {a, b, c} เฉลย

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A

• A×{} = {}
• {}×A = {}
• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
• A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
• n(A×B) = n(A).n(B)

           ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า

r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

        ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข คือ เซตของคู่อันดับ โดยที่สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับ สัมพันธ์กับสมาชิกตัวหลัง ในรูปแบบเดียวกันในทุก ๆ คู่อันดับ เช่น

• A = {โตเกียว, กรุงเทพ, จาการ์ต้า, ปักกิ่ง, โซล}
• B = {ไทย, จีน, ญี่ปุ่น, เกาหลี, อินโดนีเซีย, อินเดีย, รัสเซีย}

ความสัมพันธ์จาก A ไป B แบบ “เมืองหลวง – ประเทศ” คือ {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (จาการ์ต้า, อินโดนีเซีย), (ปักกิ่ง, จีน), (โซล, เกาหลี)}

หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×B | a เป็นเมืองหลวงของ b}

• A = {1, 3, 5, 7, 9}

ความสัมพันธ์จาก A ไป A แบบ “บวกกันได้ 10” คือ {(1, 9), (3, 7), (5, 5), (7, 3), (9, 1)}

หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×A | a + b = 10}

        กราฟของความสัมพันธ์ หากความสัมพันธ์ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขแล้ว เราสามารถเขียนความสัมพันธ์โดยใช้กราฟได้ โดยการนำคู่อันดับต่างๆ ของความสัมพันธ์ไปวาดลงบนกราฟ เช่น

ให้    A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {5, 6, 7, …, 20}
โดย r = {(x, y) ∈ A×B | y = 3x}
แจกแจงสมาชิกได้เป็น r = {(2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)}

จะวาดกราฟได้ดังนี้

ในกรณี r เป็นความสัมพันธ์ของจำนวนจริง มักจะวาดกราฟได้เป็นเส้น  เช่น

r = {(x, y) ∈ R×R | y = 3x}

จะวาดกราฟได้ดังนี้

เคล็ดลับการพิจารณากราฟ พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ได้ดังนี้

• กราฟจะผ่านจุด (a, b) เมื่อ แทนค่า a และ b ลงในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
• จุดตัดแกน x คือ จุดที่ y = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน x 
• จุดตัดแกน y คือ จุดที่ x = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน y
• กราฟอยู่เหนือแกน x เมื่อ y > 0
• กราฟอยู่ใต้แกน x เมื่อ y < 0

ตัวอย่างโจทย์ – กราฟต่อไปนี้ผ่านจุด (0, 1) หรือไม่

• x + y = 1 เฉลย
• x²-y² = 1 เฉลย

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาจุดตัดแกน x และ y ของกราฟต่อไปนี้

• 2x + 1 = 3y เฉลย

        โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ 

       โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Dr

Dr = {x | (x, y) ∈ r}

        เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr

Rr = {y | (x, y) ∈ r}

เช่น

r = {(1, 3), (2, 8), (3, 10), (3, -5), (4, 19), (8, 3), (100, -5), (-9, 22)}
Dr = {1, 2, 3, 4, 8, 100, -9}          
Rr = {3, 8, 10, -5, 19, -5, 22}

r = {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (เบอร์ลิน, เยอรมันนี), (แคนเบอร์ร่า, ออสเตรเลีย), (โซล, เกาหลี), …}
Dr = เซตของเมืองหลวงทั่วโลก
Rr = เซตของประเทศทุกประเทศ