หมวดหมู่: คลังข้อสอบ

คณิตศาสตร์ ม.5 – เวกเตอร์

PANYA SOCIETY

เวกเตอร์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 3 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เวกเตอร์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ในข้อสอบ A – Level พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 เรื่อง “เวกเตอร์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เวกเตอร์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เวกเตอร์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 
  • เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
  • ผลคูณเชิงสเกลาร์ 
  • ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 

เวกเตอร์

เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
เช่น การบอกทางให้คนเดินไป ถ้าบอกแค่ว่า เดินไป 10 ก้าว จะยังไม่รู้ว่าต้องเดินไปทางไหน ต้องบอกว่า เดินไปในทิศทางไหนด้วย

เนื่องจากเวกเตอร์เป็นปริมาณที่บอกขนาดและทิศทางเท่านั้น ไม่ได้จำกัดว่าจะต้องเริ่มจากจุดใดและไปจบที่จุดใด
ดังนั้นเราสามารถเลื่อนเวกเตอร์ได้ แต่ต้องไม่เปลี่ยนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์นั้น

เช่น พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้ว่า

เมื่อมีเวกเตอร์หนึ่งที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ u แต่มีทิศตรงข้ามกัน จะเรียกเวกเตอร์นั้นว่า -u


การบวกเวกเตอร์

* การลบเวกเตอร์ u – v จะหาได้จาก v + (-u)


การคูณด้วยสเกลาร์

การคูณค่าคงที่ c กับเวกเตอร์หนึ่ง จะทำให้ขนาดของเวกเตอร์นั้นเพิ่มขึ้นเป็น c เท่า
– ถ้า c เป็นบวก เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางเดิม
– ถ้า c เป็นลบ เวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางตรงกันข้าม
เช่น


สมบัติการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

ให้ u เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุด x1, y1, z1 ไปยัง x2, y2, z2 ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังรูป

จะสามารถเขียนเวกเตอร์ในรูปคู่อันดับ ได้ดังนี้

(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

หรือสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์หลัก ได้ดังนี้


ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์ ก็คือ ความยาวของเวกเตอร์นั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง
ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วย |u|

เมื่อเวกเตอร์ u = (a, b, c) จะสามารถหาขนาดของเวกเตอร์ ได้จาก


เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

จะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ u ได้จาก

ผลคูณเชิงสเกลาร์

สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

การประยุกต์ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า “เวกเตอร์” ในคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “เมทริกซ์” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “เมทริกซ์” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในเทอมต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “ม.5 เทอม 2” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่นอตกลางทางนะครับ

PREVIOUS

บทที่ 2 เมทริกซ์

NEXT

กลับหน้าบทความหลัก

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

คณิตศาสตร์ ม.5 – เมทริกซ์

PANYA SOCIETY

เมทริกซ์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 2 ของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 “เมทริกซ์” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่าน ๆ มา ในข้อสอบ A – Level พบความถี่ในการออกข้อสอบโดยเฉลี่ยถึงประมาณ 1 – 2 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 เรื่อง “เมทริกซ์” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น เมทริกซ์ มีออกข้อสอบทุกปี ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

เมทริกซ์ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • ระบบสมการเชิงเส้น
  • เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์
  • ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์
  • การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์
  • ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์
  • ตัวผกผันของเมทริกซ์
  • การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือ สมการที่ตัวแปรทุกตัวมีเลขยกกำลังเป็น 1

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถแก้สมการได้ตามปกติ
เช่น    2x + 1 = 5
            2x = 4
              x = 2

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 2 สมการ
เช่น    x + 3y = 8    เป็นสมการที่ (1)
        x – 2y = 3    เป็นสมการที่ (2)

คูณแต่ละสมการด้วยค่าคงที่ แล้วนำมาบวกลบกัน เพื่อกำจัด 1 ตัวแปร
       นำ (1) – (2) :     x + 3y – (x – 2y) = 8 – 3
                                            5y = 5
                                              y = 1
       แทน y = 1 ใน (1) :           x + 3(1) = 8
                                              x = 5

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร สามารถแก้สมการได้เมื่อมี 3 สมการ
เช่น    ระบบสมการ
                                     x + y + z = 2    เป็นสมการที่ (1)
                                     x + y – z = 4    เป็นสมการที่ (2)
                                   x + 2y + z = 4    เป็นสมการที่ (3)

นำ (1) – (2) :                              2z = -2
                                              z = -1
แทน z = -1 ใน (1) :               x + y – 1 = 2
                                         x + y = 3     เป็นสมการที่ (4)
แทน z = -1 ใน (2) :               x + y + 1 = 4
                                         x + y = 3
แทน z = -1 ใน (3) :             x + 2y – 1 = 4
                                       x + 2y = 5      เป็นสมการที่ (5)
นำ 2×(4) – (5) :       2x + 2y – (x + 2y) = 6 – 5
                                              x = 1
แทน x = 1 ใน (4) :                    1 + y = 3
                                             y = 2
ดังนั้น x = 1, y = 2, z = -1

เนื่องจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร คือ สมการเส้นตรง จึงอาจหาคำตอบของระบบสมการ 2 สมการ ได้ 3 แบบ
     1. หาคำตอบได้แน่นอน ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองไม่ขนานกัน
     2. หาคำตอบไม่ได้ ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองขนานกัน และไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน
     3. มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ในกรณีที่สมการเส้นตรงทั้งสองเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ คือ สิ่งที่เก็บข้อมูลกลุ่มหนึ่งไว้ โดยตำแหน่งของข้อมูลมีความสำคัญ ไม่สามารถสลับตำแหน่งของข้อมูลได้ สามารถเขียนได้โดย นำข้อมูลมาเขียนเรียนเป็นแถวและหลัก ไว้ในวงเล็บ [ ]

เช่น

กำหนดเมทริกซ์

  • เมทริกซ์ A มีขนาด (มิติ) m × n หมายความว่า เมทริกซ์ A มีจำนวน m แถว และมี n หลัก
  • เรียกสมาชิกที่อยู่ตำแหน่ง แถวที่ i หลักที่ j ว่า aij

ชนิดของเมทริกซ์

1. เมทริกซ์แถว คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 แถว ซึ่งจะมีมิติ = 1 × n

2. เมทริกซ์หลัก คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง 1 หลัก ซึ่งจะมีมิติ = m × 1

3. เมทริกซ์ศูนย์ คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0

4. เมทริกซ์จตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก ซึ่งจะมีมิติ = k × k

5. เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก (แนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา) เป็นเลข 1 และสมาขิกที่เหลือเป็น 0

6. เมทริกซ์ทแยงมุม คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกซึ่งไม่อยู่ในแนวทแยงมุมหลักเป็น 0 ทั้งหมด

7. เมทริกซ์สเกลาร์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน และสมาชิกที่เหลือเป็น 0

8. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

9. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือแนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0

ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับให้แถวเป็นหลัก ให้หลักเป็นแถว
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย At

เช่น

  • สมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะมีค่าเท่ากับ สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i ของเมทริกซ์ At
  • ถ้าเมทริกซ์ A มีมิติ = m × n แล้วเมทริกซ์ At มีมิติ = n × m
  • เมทริกซ์ (At)t จะเท่ากับ เมทริกซ์ A
  • ถ้าเมทริกซ์ At = A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์สมมาตร

การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่

ให้ k เป็นค่าคงที่

  • ถ้าเมทริกซ์ At = -A จะได้ว่า เมทริกซ์ A เป็น เมทริกซ์เสมือนสมมาตร

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ เมื่อมีมิติเท่ากัน และสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

เช่น

การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้เมื่อมีมิติเท่ากัน โดยนำตัวที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมาบวกหรือลบกัน

เช่น

สมบัติของการบวกเมทริกซ์

ให้ A, B, C เป็นเมทริกซ์ c, d เป็นค่าคงที่ และ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์
1. มิติของ A + B = มิติของ A = มิติของ B
2. A + B = B + A
3. (A + B) + C = A + (B + C)
4. A + 0 = 0 + A = A
5. A + (-A) = (-A) + A = 0
6. c(A + B) = cA + cB
7. (c + d)A = cA + dA
8. (cd)A = c(dA) = (dc)A = d(cA)
9. 1A = A
10. 0A = 0

การคูณเมทริกซ์

1. เมทริกซ์ A จะคูณกับ B ได้ เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B
   ถ้า A มีมิติ m × n และ B มีมิติ n × p จะได้ A × B มีมิติ m × p

2. ให้ C = A × B
   จะได้ว่า Cxy หาได้จาก การนำแถวที่ x ของ A มากระทำกับหลักที่ y ของ B

   โดย Cxy = (ตัวที่ 1 ของแถว A)(ตัวที่ 1 ของหลัก B) + (ตัวที่ 2 ของแถว A)(ตัวที่ 2 ของหลัก B) + …

เช่น

สมบัติของการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ยกกำลัง

เมทริกซ์ที่ยกกำลังได้ จะต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส

เช่น

ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์

เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส มีค่าเป็นจำนวนจริง
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det A = |A|

เมทริกซ์ 2 × 2 หา det โดยการคูณแนวทแยงมุมหลัก ลบด้วยการคูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

เมทริกซ์ 3 × 3 หา det ได้โดยเติมสองหลักแรกต่อจากเมทริกซ์เดิม
แล้วหา det โดยคูณแนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา ลบด้วย คูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

ข้อควรรู้

  • เมทริกซ์ที่มี det เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐาน
  • เมทริกซ์ที่มี det ไม่เท่ากับ 0 เรียกว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ไมเนอร์

โคแฟกเตอร์

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ c เป็นค่าคงที่

1. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดเป็น 0 ทั้งหมด แล้ว det⁡ A = 0
2. ถ้า A มีแถวหรือหลักใดซ้ำกัน แล้ว det ⁡A = 0
3. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือสามเหลี่ยมล่าง แล้ว det ⁡A = ผลคูณของแนวทแยงมุมหลัก
4. det⁡(AB) = det⁡(A)∙det⁡(B)
5. det⁡(An)= (det⁡A)n
6. det⁡(I) = 1
7. det⁡(At) = det⁡(A)
8. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้ว det ⁡B = c det ⁡A
9. det⁡(cA) = cn det⁡ A เมื่อ A มีมิติ = n × n
10. det⁡(0) = 0
11. ถ้า B เกิดจากการสลับแถวหรือสลับหลักของ A แล้ว det⁡ B = -det ⁡A
12. ถ้า B เกิดจากการนำ c ไปคูณแถวหรือหลักหนึ่งของ A แล้วนำไปบวกกับแถวหรือหลักอื่นของ A
    จะได้ det⁡ B = det ⁡A

ตัวผกผันของเมทริกซ์

เมทริกซ์ผกผันของ A คือ เมทริกซ์ที่เมื่อนำมาคูณกับ A แล้วได้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วย A-1

จะได้ว่า                                      A A-1 = A-1 A = In


เมทริกซ์ 2 × 2


สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์

การแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์แต่งเติม

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. แต่งเติมเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B แล้วใช้การดำเนินการตามแถว
   ทำให้เมทริกซ์ A กลายเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว โดยจะมีลักษณะดังนี้
       1.) ในแต่ละแถว ตัวเลขแรกที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็นเลข 1
       2.) ตัวเลขที่อยู่ใต้เลข 1 ตัวแรก ต้องเป็น 0
       3.) เลข 0 ที่อยู่ก่อนเลข 1 ตัวแรก จะต้องเพิ่มขึ้นทุกแถว
       4.) ถ้ามีแถวที่เป็น 0 ทั้งหมด แถวต่อ ๆ ไป ต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด
3. เขียนระบบสมการใหม่ จากเมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว จะได้ค่าของตัวแปร 1 ตัว
4. แทนค่าตัวแปรที่ได้ในสมการอื่น เพื่อหาค่าตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง

การแก้ระบบสมการด้วยกฎของเครเมอร์

1. เขียนระบบสมการ ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
2. หา x1 โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 1 ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A
3. หา xn โดยการหา det ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ n ของ A ด้วย B แล้วหารด้วย det A

ตัวอย่าง

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า “เมทริกซ์” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “จำนวนจริง” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทก่อนหน้านี้ ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “จำนวนจริง” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “เวกเตอร์” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม. 5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่นอตกลางทางนะครับ

PREVIOUS

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

NEXT

บทที่ 3 เวกเตอร์

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1​

PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

      พี่นอต แห่ง Panya Society ได้ฝากถึงน้อง ๆ ม.6 ทุก ๆ คนว่า “ตอนนี้น้อง ๆ ได้เรียนวิชาคณิตศาสตร์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย มาถึงปีสุดท้ายกันแล้ว และก็เดินทางมาถึงเทอม 1 ของเลข ม.6 ซึ่งเป็นวิชาที่น้อง ๆ หลายคนมักกลัวการคำนวณ แต่จาก ม.5 เทอม 2 ที่ผ่านมาทั้ง 3 บท ได้แก่ จำนวนเชิงซ้อน, หลักการนับเบื้องต้น และความน่าจะเป็น ทั้งหมดทุกบทไม่ได้มุ่งเน้นการคำนวณที่ยาก แต่เป็นการพยายามวัดตรรกะ ความรู้ ความเข้าใจ ความเป็นเหตุเป็นผล และการเชื่อมโยงข้อมูลมากกว่า
      ดังนั้น คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไม่ได้ยากอย่างที่คิดครับ เมื่อมาถึงบทใน ม.6 เทอม 1 นี้ สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้อง ๆ จะได้พบกับ 2 บท ได้แก่ ลำดับและอนุกรม และแคลคูลัสเบื้องต้น”

บทที่ 1 ลำดับและอนุกรม

  • นิยามของลำดับ
  • ลำดับเลขคณิต
  • ลำดับเรขาคณิต 
  • ลิมิตของลำดับ
  • นิยามของอนุกรม
  • เครื่องหมายซิกมา
  • อนุกรมเลขคณิต
  • อนุกรมเรขาคณิต
  • อนุกรม telescopic
  • การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม

บทที่ 2 แคลคูลัสเบื้องต้น

  • ลิมิตของฟังก์ชัน
  • ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 
  • อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
  • อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
  • อนุพันธ์อันดับสูง
  • ความชันของเส้นโค้ง
  • การเคลื่อนที่แนวตรง
  • ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
  • ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน 
  • ปฏิยานุพันธ์
  • การหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
  • การหาปริพันธ์จำกัดเขต
  • พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

     จากเนื้อหาทั้งหมดของคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 จะเห็นได้ว่าภาพรวมของเทอม 1 นี้จะเน้นเรื่องความเข้าใจของฟังก์ชัน กราฟ และการจัดระบบชุดความคิดเชิงข้อมูล โดยมีการคำนวณค่อนข้างเยอะ ดังนั้น สิ่งที่น้อง ๆ จำเป็นก็คือ ต้องสร้างความรู้ความเข้าใจในพื้นฐาน และฝึกฝนการคำนวณด้วย      

       นอกจากนี้ น้อง ๆ มีความจำเป็นอย่างยิ่ง ที่จะต้องเก็บเนื้อหาของทั้ง 2 บทนี้ ให้ครบถ้วนที่สุด เพราะเป็นบทสำคัญที่พบว่าออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยไม่ว่าจะเป็น PAT1 หรือ 9 วิชาสามัญมาอย่างต่อเนื่องตลอดหลายปีที่ผ่านมา เรามาดูสถิติการออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยย้อนหลังในอดีต ของเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 กันดีกว่าว่า 2 บทนี้ มีจำนวนข้อ และการออกบ่อยน้อย-มากแค่ไหนตามตารางนี้ครับ

สถิติข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยวิชาสามัญ ปี 2557-2565 เฉพาะ 2 บทของคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1
สถิติข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย A - Level เฉพาะ 2 บทของคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1

          น้อง ๆ คงเห็นแล้วว่า เนื้อหาของเลข ม.6 เทอม 1 ถูกพบอยู่ในข้อสอบเยอะขนาดนี้ แถมเนื้อหายังไม่ค่อยซับซ้อน อาศัยการคำนวนเบ้าง ทำให้น้อง ๆ สามารถเก็บคะแนนจากเนื้อหาส่วนนี้ได้โดยไม่ยาก พี่เลยอยากให้น้องทุกคนควรฟิตความรู้ของเลข ม.6 เทอม 1 และเตรียมตัวให้เข้าใจเนื้อหาการเรียนตั้งแต่วันนี้ เพื่อปูเป็นพื้นฐานในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยให้พร้อมที่สุด

         เพราะฉะนั้น พี่นอต แห่ง Panya Society ขอแนะนำคอร์ส “คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1“ ซึ่งภายในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับสูง เน้นฝึกให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก ทำให้มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องได้เรียนเทคนิค Math Magic แล้วจะทำให้เข้าใจเนื้อหาอย่างละเอียด และเสกโจทย์ยากให้กลายเป็นง่ายได้แน่นอน

         คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ระดับชั้น ม.6 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) และเบื่อกับการเรียนเลขแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ พี่นอตจะมาเสกให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การติวคณิตศาสาตร์เตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเช่น คณิตศาสตร์ A – Level ก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน

         สุดท้ายนี้พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 และขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียนในเทอมนี้ครับ แล้วพบกันใหม่ในบทความต่อไปครับ…
PREVIOUS

กลับหน้าบทความหลัก

NEXT

ลำดับและอนุกรม

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

คณิตศาสตร์ ม.5 – ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

PANYA SOCIETY

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

     เดินทางมาสู่บทที่ 1 ของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ก็นับว่าเป็นบทสำคัญอย่างยิ่งอีกเช่นกัน เพราะในสถิติข้อสอบ TCAS สัดส่วนการออกข้อสอบบทนี้ ในปีที่ผ่านๆมา ในข้อสอบ A – Level พบความถี่ในการออกข้อสอบสูงสุด โดยเฉลี่ยถึงประมาณ 3-4 ข้อในทุกปี

       นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เรื่อง “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้อง ๆ จะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และควรฝึกทำโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน ที่มีเนื้อหาร่วมกับบทนี้

      อย่างที่กล่าวข้างต้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ออกข้อสอบหลายข้อจริง ๆ ดังนั้น น้อง ๆ ก็ควรใช้เป็นข้อที่ทำคะแนนอย่างยิ่ง เพื่อให้การอ่านหนังสือเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยคุ้มค่าที่สุด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีหน่วยย่อย ดังนี้

  • ทบทวนบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ
  • มุมเรเดียนและวงกลมหนึ่งหน่วย 
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • ทบทวนเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 
  • สูตรตรีโกณมิติ
  • ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • สมการตรีโกณมิติ 
  • กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ 
  • การแก้ปัญหาโดยใช้ตรีโกณมิติ 

ทบทวนบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม มีผลรวมเท่ากับ 180°

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

a2 + b2 = c2

สามเหลี่ยมคล้าย

สามเหลี่ยมสองรูป จะคล้ายกันเมื่อมีมุมเท่ากันทั้งสามคู่

△ AฺBC ~ △ DEF

จะได้ว่า อัตราส่วนของด้านที่อยู่ระหว่างมุมเดียวกัน จะมีอัตราส่วนเท่ากัน

เช่น


อัตราส่วนตรีโกณมิติ

***ข้อควรรู้***

เมื่อเรารู้ความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะหาความยาวอีกด้านได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น เราจะหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้งหมดได้เสมอ เมื่อรู้ความยาวด้านเพียงสองด้าน


ค่าตรีโกณมิติของมุมที่พบบ่อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

– กราฟของ y = sin x

– กราฟของ y = cos x

– กราฟของ y = tan x

– กราฟของ y = cot x

– กราฟของ y = sec x

– กราฟของ y = cosec x


การแปลงกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

– คาบ คือ ความยาวของช่วงที่สั้นที่สุดที่ทำให้กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเหมือนกันกับช่วงอื่น ๆ
– แอมพลิจูด คือ ครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

กำหนดให้ C เป็นค่าคงที่ ซึ่งไม่เท่ากับ 0

    • sin(Cx) หรือ cos(Cx) :       คาบ = 2π/|C|   เรนจ์ = [-1, 1]   แอมพลิจูด = 1

    • sin x + C หรือ cos x + C :   คาบ = 2π   เรนจ์ = [C-1, C+1]   แอมพลิจูด = 1

    • C sin x หรือ C cos x :       คาบ = 2π   เรนจ์ = [-|C|, |C|]   แอมพลิจูด = |C|    

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม

sin2 θ + cos2 θ = 1

sec2 θ = tan2 θ + 1

cosec2 θ = cot2 θ + 1

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

tan (θ + 2nπ) = tan θ

sec (θ + 2nπ) = sec θ

cosec (θ + 2nπ) = cosec θ

cot (θ + 2nπ) = cot θ

sin (-θ ) = – sin θ

cos (-θ ) = cos θ

tan (-θ ) = – tan θ

sec (-θ ) = sec θ

cosec (-θ ) = – cosec θ

cot (-θ ) = – cot θ

สูตรตรีโกณมิติ

สูตรผลบวกและผลต่างของมุม

sin⁡(A+B) = sin⁡ A cos ⁡B + cos ⁡A sin ⁡B
sin⁡(A-B) = sin ⁡A cos ⁡B – cos ⁡A sin ⁡B
cos⁡(A+B) = cos⁡ A cos ⁡B – sin ⁡A sin⁡ B
cos⁡(A-B) = cos ⁡A cos ⁡B + sin ⁡A sin⁡ B
                                                   

 

 

สูตรมุมสองเท่า

sin⁡ 2A = 2 sin ⁡A cos ⁡A
cos⁡ 2A = cos2 A – sin2 A
          = 1 – 2 sin2 A
          = 2 cos2 A – 1                                                                               

สูตรมุมครึ่งเท่า

สูตรผลคูณของ sin กับ cos

2 cos⁡ A cos ⁡B = cos⁡(A+B) + cos(A-B)
-2 sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A+B) – cos(A-B)
2 sin⁡A cos⁡B = sin⁡(A+B) + sin(A-B)
2 cos⁡A sin⁡B = sin⁡(A+B) – sin(A-B)

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เขียนแทนด้วย arc ตามด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ-1

เช่น       จาก sin⁡ θ = 1 

           จะได้ arcsin(1) = θ = sin-1(1) = 90°

เรนจ์ของฟังก์ชัน arc

arcsin : [-90°, 90°]
arctan : (-90°, 90°)
arccosec : [-90°, 90°] – {0°}

arccos : [0°, 180°]
arccot : (0°, 180°)
arcsec : [0°, 180°] – {90°}

เทคนิคการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

1. ไม่สนใจเครื่องหมายของค่าในฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ให้หาค่า θ ของค่าบวกก่อน
2. พิจารณาว่า θ ควรอยู่ในจตุภาคใด โดยดูจากเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันนั้น

ตัวอย่างโจทย์

จงหา sec -1(-2)  เฉลย

เทคนิคการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุม arc

1. กำหนดมุม arc เป็นมุม θ
2. วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม α ซึ่งมีค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เท่ากับ |ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม θ|
3. หาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม α
4. พิจารณาเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการ โดยการพิจารณาว่ามุม θ อยู่จตุภาคใด

ตัวอย่างโจทย์

จงหา sin(2 arctan (2))  เฉลย

สมการตรีโกณมิติ

เทคนิคการแก้สมการตรีโกณมิติ

1. เปลี่ยน cosec, sec, cot ไปเป็น sin, cos, tan
2. ปรับสมการให้เหลือฟังก์ชันตรีโกณมิติน้อยที่สุด
3. ใช้สูตรหรือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่าง ๆ ปรับสมการให้อยู่ในรูป ผลคูณ = 0
4. ใช้การแก้สมการตัวแปรเดียวหรือการแก้สมการพหุนาม มาช่วยแก้
   เช่น    tan2 ⁡θ – 3 tan ⁡θ + 2 = 0
          (tan ⁡θ – 2)(tan ⁡θ – 1) = 0
5. ตรวจเครื่องหมายของคำตอบและช่วงของคำตอบให้ดี เพื่อให้ได้คำตอบครบ ถูกต้อง และไม่เกิน

ตัวอย่างโจทย์

จงแก้สมการ cos 2θ + 5 sin θ + 2 = 0   เฉลย

กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

กฎของไซน์

กฎของโคไซน์

a2 = c2 + b2 – 2bc cos A

การแก้ปัญหาโดยใช้ตรีโกณมิติ

1. วาดรูป เพื่อให้เห็นภาพและสามารถวิเคราะห์โจทย์ได้ง่ายขึ้น
2. หาข้อมูลที่เรารู้จากโจทย์
3. ตีความโจทย์ ว่าต้องการให้หาอะไร
4. ใช้ความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างโจทย์

เจนนี่ยืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15° แต่เมื่อตรงเข้าไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75° ถ้าเจนนี่สูง 165° เซนติเมตร จงหาความสูงของเสาธง

 เฉลย

คุยกันท้ายบท

       จะเห็นได้ว่า “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทที่แล้ว ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

       ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “เมทริกซ์” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

       พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

PREVIOUS

กลับหน้าบทความหลัก

NEXT

บทที่ 2 เมทริกซ์

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1​

PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

      พี่นอต แห่ง Panya Society ได้ฝากถึงน้อง ๆ ม.5 ทุก ๆ คนว่า “ตอนนี้น้อง ๆ ได้เรียนวิชาคณิตศาสตร์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ผ่านมา 2 เทอมกันแล้ว และก็เดินทางมาถึงเทอม 1 ของเลข ม.5 ซึ่งเป็นวิชาที่น้อง ๆ หลายคนมักกลัวการคำนวณ แต่จากเทอม 2 ที่ผ่านมาทั้ง 3 บท ได้แก่ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ทั้งหมดทุกบทไม่ได้มุ่งเน้นการคำนวณที่ยาก แต่เป็นการพยายามวัดตรรกะ ความรู้ ความเข้าใจ ความเป็นเหตุเป็นผล และการเชื่อมโยงข้อมูลมากกว่า
      ดังนั้น คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไม่ได้ยากอย่างที่คิดครับ เมื่อมาถึงบทใน ม.5 เทอม 1 นี้ สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้อง ๆ จะได้พบกับ 3 บท ได้แก่ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เมทริกซ์ และเวกเตอร์”

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

  • ทบทวนบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ
  • มุมเรเดียนและวงกลมหนึ่งหน่วย 
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • ทบทวนเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 
  • สูตรตรีโกณมิติ
  • ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
  • สมการตรีโกณมิติ 
  • กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ 
  • การแก้ปัญหาโดยใช้ตรีโกณมิติ 

บทที่ 2 เมทริกซ์

  • ระบบสมการเชิงเส้น 
  • เมทริกซ์และชนิดของเมทริกซ์ 
  • ทรานสโพสและการเท่ากันของเมทริกซ์ 
  • การบวก การคูณ และการยกกำลังของเมทริกซ์ 
  • ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์ 
  • ตัวผกผันของเมทริกซ์ 
  • การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์ 

บทที่ 3 เวกเตอร์

  • เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์ 
  • เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 
  • ผลคูณเชิงสเกลาร์ 
  • ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 

     จากเนื้อหาทั้งหมดของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะเห็นได้ว่าภาพรวมของเทอม 1 นี้จะเน้นเรื่องความเข้าใจของฟังก์ชัน กราฟ เรขาคณิต ระบบสมการ และการจัดระบบชุดความคิดเชิงข้อมูลมากกว่าเน้นการคำนวณ เช่นเดียวกับ คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 และ ม.4 เทอม 2 ดังนั้น สิ่งที่น้อง ๆ จำเป็นก็คือ ต้องสร้างความรู้ความเข้าใจในพื้นฐาน มากกว่าการมุ่งเน้นการคำนวณ     

       นอกจากนี้ น้อง ๆ มีความจำเป็นอย่างยิ่ง ที่จะต้องเก็บเนื้อหาของทั้ง 3 บทนี้ ให้ครบถ้วนที่สุด เพราะเป็นบทสำคัญที่พบว่าออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย A – Level มาอย่างต่อเนื่องตลอดหลายปีที่ผ่านมา เรามาดูสถิติการออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยย้อนหลังในอดีต ของเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กันดีกว่าว่า 3 บทนี้ มีจำนวนข้อ และการออกบ่อยน้อย-มากแค่ไหนตามตารางนี้ครับ

ชื่อบทA – Level 66A – Level 67
ตรีโกณมิต22
เมทริกซ์11
เวกเตอร์22

 

          น้อง ๆ คงเห็นแล้วว่า เนื้อหาของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ถูกพบอยู่ในข้อสอบเยอะขนาดนี้ แถมเนื้อหายังไม่ค่อยซับซ้อน อาศัยการคำนวนเพียงเล็กน้อย ทำให้น้อง ๆ สามารถเก็บคะแนนจากเนื้อหาส่วนนี้ได้โดยไม่ยาก พี่เลยอยากให้น้องทุกคนควรฟิตความรู้ของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 และเตรียมตัวให้เข้าใจเนื้อหาการเรียนตั้งแต่วันนี้ เพื่อปูเป็นพื้นฐานในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยให้พร้อมที่สุด

         เพราะฉะนั้น พี่นอต แห่ง Panya Society ขอแนะนำคอร์ส “คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1“ ซึ่งภายในบทเรียนจะประกอบไปด้วย เนื้อหาที่ปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับสูง เน้นฝึกให้นักเรียนเข้าใจ ไม่ต้องท่องจำ และอธิบายอย่างละเอียดโดยเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับชีวิตจริง พร้อมแบบฝึกหัดทุกระดับทั้งง่าย-ยาก ทำให้มั่นใจได้ว่าหลังจากที่น้องได้เรียนเทคนิค Math Magic แล้วจะทำให้เข้าใจเนื้อหาอย่างละเอียด และเสกโจทย์ยากให้กลายเป็นง่ายได้แน่นอน

         คอร์สนี้เหมาะกับน้อง ๆ ระดับชั้น ม.5 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) และเบื่อกับการเรียนเลขแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ พี่นอตจะมาเสกให้น้องเข้าใจเนื้อหา และสนุกไปกับคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่การติวคณิตศาสาตร์เตรียมตัวเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเช่น คณิตศาสตร์ A – Level ก็สามารถใช้ความรู้ ความเข้าใจจากการเรียนคอร์สนี้ได้เช่นกัน

         สุดท้ายนี้พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 และขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียนในเทอมนี้ครับ แล้วพบกันใหม่ในบทความต่อไปครับ…
PREVIOUS

กลับหน้าบทความหลัก

NEXT

บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

PANYA แจกของขวัญปีใหม่ & ส่วนลดระเบิดเวลา

**หมดเขตโปรโมชั่นแล้ว**

MENU
ของขวัญปีใหม่
ตารางระเบิดเวลา

PANYA แจก ของขวัญปีใหม่ !!!

“ส่วนลดระเบิดเวลา”

12 ธันวาคม 2022 - 8 มกราคม 2023

สมัครเรียนคอร์สใดก็ได้กับ กับของขวัญสุดพิเศษ

‘NEW YEAR'S 'สอบติด' GIFT SET’

ตลอดเดือนธันวาคม 2022

New Year’s สอบติด GIFT SET

New Year’s สอบติด
GIFT SET

โดย Panya Society

🎅 เพียง…
✔ ซื้อคอร์สใดก็ได้ 
✔ ตลอดเดือนธันวาคม 2022
✔ รับของขวัญปีใหม่ ทันที!
**คอร์สติวแนะแนว 9 บาท ไม่เข้าร่วม**

🎁 ของขวัญสุดพิเศษประกอบด้วย…
1. กระเป๋าผ้านำโชค ‘สอบติด’
2. ยา (อุดม) ปัญญา สูดแล้วสมองพุ่งปรี๊ด
3. สเปรย์แอลกอฮอล์มือเทพ กาแต่ข้อถูก
4. คูปองส่วนลดคอร์ส 300 บาท เมื่อซื้อคอร์สถัดไป

 

***อย่าช้า !
สมัครเรียนเลย

🎉ของขวัญสุดพิเศษ🎁

Previous
Next
พิเศษสุด! รับเทศกาลปีใหม่

“ส่วนลดระเบิดเวลา”

พิเศษสุด! รับเทศกาลปีใหม่

เมื่อซื้อ Pack คอร์ส UpScore & เทอม 2
*ซื้อเป็น Pack ยิ่งซื้อเร็ว ยิ่งลดเพิ่มอีก*

💣 แจกส่วนลดระเบิดเวลาเพียงใส่โค้ดก็รับส่วนลดไปเลย!

**หมดเขตโปรโมชั่นแล้ว**

💥สัปดาห์ที่ 1 (12 – 18 ธันวาคม 2022)
        – ใส่โค้ด BOOM990 รับส่วนลด 990 บาท
💥สัปดาห์ที่ 2 (19 – 25 ธันวาคม 2022)
        – ใส่โค้ด BOOM790 รับส่วนลด 790 บาท
💥สัปดาห์ที่ 3 (26 ธันวาคม 2022 – 1 มกราคม 2023)
        – ใส่โค้ด BOOM590 รับส่วนลด 590 บาท
💥สัปดาห์ที่ 4 (2 – 8 มกราคม 2023)
        – ใส่โค้ด BOOM390 รับส่วนลด 390 บาท

วิธีกรอกโค้ดส่วนลด คลิกเลย!
ตารางระเบิดเวลา

💥สัปดาห์ที่ 1 (12 – 18 ธันวาคม 2022)
  – โค้ดBOOM990 ส่วนลด 990.-
💥สัปดาห์ที่ 2 (19 – 25 ธันวาคม 2022)
  – โค้ด BOOM790 ส่วนลด 790.-
💥สัปดาห์ที่ 3 (26 ธันวาคม 2022 – 1 มกราคม 2022)
 – โค้ด BOOM590 ส่วนลด 590.-
💥สัปดาห์ที่ 4 (2 – 8 มกราคม 2023)
 – โค้ด BOOM390 ส่วนลด 390.- 

วิธีกรอกโค้ดส่วนลด คลิกเลย!
ตารางระเบิดเวลา

คลิกที่ภาพเพื่อดูภาพใหญ่

🎉คอร์สที่เข้าร่วม🎁

🔥ระเบิดเวลา🔥

**หมดเขตโปรโมชั่นแล้ว**

**เพียงสมัครเรียน และกรอกโค้ด BOOM390 ที่ ‘หน้าชำระเงิน’**

1. Pack ฟิสิกส์ + เคมี TCAS ติดอาวุธลับ UpScore (75 ชม.)
2. Pack TCAS สายศิลป์ ภาษาไทย และ สังคม (84 ชม.)
3. Pack เพิ่มเกรด ม.4 เทอม 2 – ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ (165 ชม.)
4. Pack เพิ่มเกรด ม.5 เทอม 2 – ฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ (94 ชม.)
5. Pack ฟิสิกส์ + เคมี + คณิตศาสตร์ TCAS ติดอาวุธลับ UpScore (113 ชม.)

Days
Hours
Minutes
Seconds
หมดเวลาแล้ว

💣ระเบิดเวลา💥 Pack ฟิสิกส์ + เคมี TCAS ติดอาวุธลับ UpScore ใส่โค้ด BOOM390 ลด 390 บาท

฿2,600

฿2,990

รายละเอียด

💣ระเบิดเวลา💥 Pack TCAS สายศิลป์ ภาษาไทย และ สังคม ใส่โค้ด BOOM390 ลด 390 บาท

฿2,600

฿2,990

รายละเอียด

💣ระเบิดเวลา💥 ม.4 เทอม 2 - คณิตศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ ใส่โค้ด BOOM390 ลด 390 บาท

฿3,600

฿3,990

รายละเอียด

💣ระเบิดเวลา💥 ม.5 เทอม 2 - คณิตศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ ใส่โค้ด BOOM390 ลด 390 บาท

฿3,600

฿3,990

รายละเอียด

💣ระเบิดเวลา💥 Pack ฟิสิกส์ + เคมี + คณิตศาสตร์ TCAS ติดอาวุธลับ UpScore ใส่โค้ด BOOM390 ลด 390 บาท

฿4,110

฿4,500

รายละเอียด
Previous
Next

🎉ทำความรู้จักติวเตอร์🎁

ทีมสอน ->
กลับสู่หน้าหลัก
รวมคอร์สเรียน
รวมบทความ

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

ติวแนะแนวข้อสอบฉบับเร่งรัด 9 บาท TCAS66 เรื่องที่ต้องรู้

**หมดเขตโปรโมชั่นแล้ว**

ดร.ณัฏฐพล อิสรเสรีรักษ์ (พี่นัท) - ปริญญาตรี โท เอก คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาฯ

รายละเอียด
สมัครเรียน

ติวแนะแนวข้อสอบฉบับเร่งรัด 9 บาท !!!

“TCAS66 เรื่องที่ต้องรู้”

กับ 9 ความพิเศษ ที่พลาดไม่ได้!!!

✅ ติวแนะแนว l ✅ ส่วนลด 390 รวม 7 คอร์ส l ✅ แจกแนวข้อสอบ

✅ ติวแนะแนว l ✅ ส่วนลด 390 รวม 7 คอร์ส l
✅ แจกแนวข้อสอบ

✅ ติวแนะแนว
✅ ส่วนลด 390 รวม 7 คอร์ส 
✅ แจกแนวข้อสอบ

ทั้ง !!!"

⚡Promotion💡

TCAS66 เรื่องที่ต้องรู้

โดยพี่นัท

เพียงเข้าชมคอร์สพิเศษเฉพาะกิจ ติวแนะแนวข้อสอบทั้ง TPAT, TGAT และ A-LEVEL ตาม Test Blueprint ’66 รวมกว่า 9 ชั่วโมง ในราคา 9 บาท โดยครูพี่นัท แห่ง Panya Society พร้อมรับส่วนลดคอร์สเพิ่ม 390 บาท แบบไม่มีเงื่อนไข พี่ปัญญาใจดี เปิดติวแนะแนวให้น้องทุกคน แถม Mock-Up Test แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ฟรี! 6 วิชาแบบจุก ๆ และสุดพิเศษกับเฉลยข้อสอบ ปี 65 รวม 4 วิชา พิเศษขนาดนี้…สมัครเลย!
*หมายเหตุ รับเอกสารประกอบการเรียนในรูปแบบ E-Book ในคอร์สเรียน ฟรี!

*รับ code ส่วนลด ได้ในคอร์สเรียน
สมัครเรียน

TCAS66 เรื่องที่ต้องรู้

โดยพี่นัท

เพียงเข้าชมคอร์สพิเศษเฉพาะกิจ ติวแนะแนวข้อสอบทั้ง TPAT, TGAT และ A-LEVEL ตาม Test Blueprint ’66 รวมกว่า 9 ชั่วโมง ในราคา 9 บาท โดยครูพี่นัท แห่ง Panya Society พร้อมรับส่วนลดคอร์สเพิ่ม 390 บาท แบบไม่มีเงื่อนไข พี่ปัญญาใจดี เปิดติวแนะแนวให้น้องทุกคน แถม Mock-Up Test แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ฟรี! 6 วิชาแบบจุก ๆ และสุดพิเศษกับเฉลยข้อสอบ ปี 65 รวม 4 วิชา พิเศษขนาดนี้…สมัครเลย!
*หมายเหตุ รับเอกสารประกอบการเรียนในรูปแบบ E-Book ในคอร์สเรียน ฟรี!

*รับ code ส่วนลด ได้ในคอร์สเรียน
สมัครเรียน

9 ความพิเศษที่จะได้รับ

  1. เจาะลึก + แนะแนวข้อสอบ TGAT-TPAT ทั้งสายวิทย์-สายศิลป์
  2. เตรียมตัวสอบ A-LEVEL ครบทุกสาระวิชา
  3. แนวทางเตรียมตัวสอบโค้งสุดท้ายฉบับไฟลุก เคล็ดลับการอ่านหนังสือ และเทคนิคการทำคะแนนพุ่ง
  4. Q&A คำถามที่น้อง ๆ ถามบ่อย เพื่อการเตรียมตัวสอบ TCAS66
  5. TCAS BOOSTER ติวสอบแบบเร่งรัดฟรี 6 วิชา ได้แก่ วิชาสายวิทยาศาสตร์ (ฟิสิกส์-เคมี-คณิตศาสตร์) และวิชาสายศิลป์ (ไทย-สังคม-อังกฤษ)
  6. MOCK-UP TEST ข้อสอบออนไลน์เสมือนข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยจริง จำนวน 6 วิชา 
  7. Highlight เนื้อหา เทคนิคเพิ่มคะแนนสอบโค้งสุดท้าย จากคอร์ส A-Level, TCAS English และ ตะลุยโจทย์ ติดอาวุธลับ UpScore 
  8. รับ ‘ส่วนลด’ จุก ๆ คอร์ส A-Level, TCAS English และคอร์สตะลุยโจทย์ ติดอาวุธลับ UpScore มูลค่า 390 บาท 
  9. สุดพิเศษ! “เฉลยข้อสอบข้อ highlight ปี 65” รวม 4 วิชา (ฟิสิกส์-เคมี-คณิตศาสตร์-ไทย)
PANYA SOCIETY

ตารางการเข้าชม VDO

ชุด VDO ช่วงเวลา เนื้อหาที่เปิดให้เข้าชม
1 วันนี้ – 11 ธันวาคม ภาพรวมข้อสอบ TCAS66
และเจาะลึกแนวข้อสอบ TGAT-TPAT ทั้งสายวิทย์-สายศิลป์
2 + 3 12 – 25 ธันวาคม เจาะลึกแนวข้อสอบ A-LEVEL ทุกวิชาทั้งสายวิทย์-สายศิลป์
“อ่านหนังสืออย่างไร ให้สอบติด?”
แนวทางการเตรียมตัวโค้งสุดท้ายในการอ่านหนังสือสอบ
เคล็ดลับการทำข้อสอบ-เทคนิคการทำคะแนน
และ Q&A คำถามที่น้อง ๆ ถามบ่อย + EXAM 6 วิชา
4 26 ธันวาคม – 8 มกราคม TCAS BOOSTER ติวสอบแบบเร่งรัด ฟรี 6 วิชา
+ วิทย์ (ฟิสิกส์-เคมี-คณิตศาสตร์)
+ ศิลป์ (ไทย-สังคม-อังกฤษ)
5 9 – 22 มกราคม เฉลยข้อสอบ ปี 65 รวม 4 วิชา (ฟิสิกส์-เคมี-คณิตศาสตร์-ไทย)
พร้อม Highlight คอร์ส A-Level, TCAS English
และคอร์สตะลุยโจทย์ ติดอาวุธลับ UpScore ทุกวิชา
ชุด VDOช่วงเวลาเนื้อหาที่เปิดให้เข้าชม
1วันนี้ – 11 ธันวาคมภาพรวมข้อสอบ TCAS66
และเจาะลึกแนวข้อสอบ TGAT-TPAT ทั้งสายวิทย์-สายศิลป์
2 + 312 – 25 ธันวาคมเจาะลึกแนวข้อสอบ A-LEVEL ทุกวิชาทั้งสายวิทย์-สายศิลป์

“อ่านหนังสืออย่างไร ให้สอบติด?”
แนวทางการเตรียมตัวโค้งสุดท้ายในการอ่านหนังสือสอบ
เคล็ดลับการทำข้อสอบ-เทคนิคการทำคะแนน
และ Q&A คำถามที่น้อง ๆ ถามบ่อย + EXAM 6 วิชา
426 ธันวาคม – 8 มกราคมTCAS BOOSTER ติวสอบแบบเร่งรัด ฟรี 6 วิชา
+ วิทย์ (ฟิสิกส์-เคมี-คณิตศาสตร์)
+ ศิลป์ (ไทย-สังคม-อังกฤษ)
59 – 22 มกราคมเฉลยข้อสอบ ปี 65 รวม 4 วิชา (ฟิสิกส์-เคมี-คณิตศาสตร์-ไทย)
พร้อม Highlight คอร์ส A-Level, TCAS English
และคอร์สตะลุยโจทย์ ติดอาวุธลับ UpScore ทุกวิชา

⚡Special Promotion💡

*รับ code ส่วนลด ได้ในคอร์สเรียน
วิธีกรอกโค้ดส่วนลด คลิกเลย!
สมัครเรียน

โปรโมชั่นสุดพิเศษ! ส่วนลดคอร์ส A-Level และ Pack UpScore
มูลค่า 390 บาท!!! เพียงกรอกโค้ดส่วนลดที่ได้รับในหน้าชำระเงิน

โปรโมชั่นสุดพิเศษ! ส่วนลดคอร์ส A-Level และ Pack UpScore
มูลค่า 390 บาท!!! เพียงกรอกโค้ดส่วนลดที่ได้รับในหน้าชำระเงิน

1. ฟิสิกส์ A-Level และ TPAT3 (194 ชม.)
2. เคมี A-Level (79 ชม.)
3. Pack คณิตศาสตร์ A-Level (พื้นฐาน+เพิ่มเติม 297 ชม.)
4. Pack ฟิสิกส์ + เคมี + คณิตศาสตร์ TCAS ติดอาวุธลับ UpScore (113 ชม.)
5. Pack ฟิสิกส์ + เคมี TCAS ติดอาวุธลับ UpScore (75 ชม.)
6. Pack TCAS สายศิลป์ ภาษาไทย และ สังคม (84 ชม.)
7. TCAS ENGLISH (71 ชม.)

🔥HOT SALE🔥
Days
Hours
Minutes
Seconds
หมดเวลาแล้ว

SALE🔥 ติวฟรี! TPAT3 เมื่อซื้อฟิสิกส์ A-Level

฿2,100

฿2,490

รายละเอียด

SALE🔥 เคมี A-Level

฿2,100

฿2,490

รายละเอียด

SALE🔥 Pack คณิตศาสตร์ A-Level

฿3,600

฿3,990

รายละเอียด

SALE🔥 Pack ฟิสิกส์ + เคมี + คณิตศาสตร์ TCAS ติดอาวุธลับ UpScore

฿4,110

฿4,500

รายละเอียด

SALE🔥 Pack ฟิสิกส์ + เคมี TCAS ติดอาวุธลับ UpScore

฿2,600

฿2,990

รายละเอียด

SALE🔥 Pack TCAS สายศิลป์ ภาษาไทย และ สังคม

฿2,600

฿2,990

รายละเอียด

SALE🔥 TGAT ENGLISH

฿2,100

฿2,490

รายละเอียด
Previous
Next

⚡SUCCESS STORY💡

โค้ช

(วิศรุต สุขแสน)

    “Panya Society จะมีคอร์สที่ปูเนื้อหาใหม่หมด ง่ายต่อการเข้าใจ สามารถนำไปต่อยอดได้ มีข้อสอบครบและครอบคลุมเนื้อหาที่ใช้สอบ
   ชอบเรื่องการสรุป การเฉลยข้อสอบที่เข้าใจง่าย ความรู้แน่นนนมากก สอนดีครับ ติวเตอร์มีความรู้ครอบคลุม เนื้อหาที่ใช้สอนดี ไม่เกินเนื้อหาสอบ เฉลยข้อสอบละเอียด
   ขอบคุณสำหรับแนวข้อสอบดี ๆ แนวการทำข้อสอบ มาก ๆ ครับบ“

สอบติด: คณะวนศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

คอร์สที่เรียน:

บาย

(ณัฐศรัณย์ บาลนคร)

    “เลือก Panya Society จากการหาคอร์สในเน็ตค่ะ วิธีการสอนนั้นโอเคเลย ตรงกับที่เราชอบพอดีที่แบบค่อย ๆ สอนไม่รีบเกินหรือช้าเกิน เราเลือกเรียนคอร์สภาษาไทยกับสังคม 9 วิชาสามัญค่ะ
    พี่ Tutor สอนดีมาก ๆ เลยค่ะ พี่ชาร์ปเป็นคนที่สอนชัดเจนดีมาก แบบวิธีดูรากคำศัพท์ภาษาบาลี ทำให้เข้าใจง่าย ดูการสะกดคำ คำซ้อนอะไรแบบนี้“

สอบติด: คณะนิติศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ สาขาลำปาง

คอร์สที่เรียน:

ปาย

(นิชาภา รัตนนิล)

    “อาจารย์ที่สอนดูสอนเก่งและราคาดีค่ะ5555 เรียนคอร์สไทย-สังคมค่ะ สอนดีมาก ๆๆ สอนเต็มที่ทุกเม็ด ชอบมากสนุกค่ะ พี่ tutor น่ารักค่ะ สอนสนุก มีทริคให้เยอะค่ะ ใส่ใจนักเรียนถ้าสงสัยอะไรถามได้เลย
    อยากบอกว่าระยะทางมันอาจจะหนักมาก อยากให้กำลังใจคนที่ท้ออยู่อาจจะคิดว่าเราทำไม่สำเร็จ เชื่อมั่นในตัวเองนะคะ ขอบคุณที่ทำให้คะแนนไทยสังคมเยอะจนติดคณะนี้นะคะ ถ้าไม่ได้พี่ ๆ อาจจะไม่ติดก็ได้“

สอบติด: คณะสังคมศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทร์วิโรฒ

คอร์สที่เรียน:

ดีน่า

(ภาวินี จันทร์ทศ)

    “เลือกที่ Panya Society เพราะว่าอันดับแรกเลยมีให้ทดลองเรียนก่อนค่ะ และเป็นสิ่งที่หนูชอบมาก ๆ ซึ่งเป็นอีกทางที่ทำให้หนูเลือกเรียนที่นี่เพราะรู้สึกว่าใช่กับเรามาก ๆ และหนูเลือกเรียนคอร์ส เคมี และ ฟิสิกส์ TCAS Up Score เป็นคอร์สที่ทบทวนเนื้อหาให้พร้อมกับทำข้อสอบ และราคาน่ารักมากด้วยค่ะ
   เรียนแล้วรู้สึกชอบมาก ๆ ค่ะ เพราะว่า ในการเรียนได้รับเทคนิคมากมายในการทำข้อสอบและมองโจทย์ได้ง่ายขึ้น อีกทั้งยังมีให้ถามพี่ ๆ ที่สอนได้ด้วยแล้วพี่ ๆ ตอบกันเร็วมากเหมือนนั่งเรียนในห้องเลยค่ะ“

สอบติด: หลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาวิทยาศาสตร์การแพทย์ มหาวิทยาลัยมหิดล วข.อำนาจเจริญ

คอร์สที่เรียน:

เหมย

(พิมลพรรณ รวมทอง)

     “คอร์สเราที่เรียนก็จะมี Get Gat English ของคุณครูตวงและคอร์สสังคม TCAS ติดอาวุธลับ UpScore ของคุณครูนิว
    เรียนเเล้วรู้สึกชอบมากเพราะหากเราไม่เข้าใจเนื้อหาตรงไหนสามารถกดเข้าไปถามคุณครูได้โดยตรงเลย พี่ ๆ น่ารักมากๆ เลย พี่ ๆ สอนโดยบรรยายให้เห็นภาพ สอนสนุกแบบเรียนได้เรื่อย ๆ ไม่เบื่อเลย
    ราคาดี โปรโมชั่นเด็ด มีคอร์สให้เลือกเยอะมาก ติวเตอร์สอนสนุก“

สอบติด: คณะเเพทย์ศาสตร์ หลักสูตรเเพทย์แผนไทยประยุกต์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

คอร์สที่เรียน:

นุ๊ก

(พิชญ์สินี ทองประเสริฐ)

     “ได้ทดลองเรียนฟรีก็รู้สึกว่า เออพี่ชาร์ปสอนเข้าใจมาก จากเป็นคนที่ไม่ชอบหลักภาษาไทยเลยยย ตั้งแต่ ป.1-ม.6 ก็คือ พี่ชาร์ปเปลี่ยนมุมมอง สอนให้ง่าย ก็เลยรู้ว่าจริง ๆ ภาษาไทยไม่มีอะไรยากเลย
     ชอบพี่ชาร์ปมาก พูดไม่ช้าไม่เร็วไป อธิบายชัดเจน คือแนะนำคอร์สภาษาไทยจริง ๆ พี่ชาร์ปใจดีมากกก สอนแบบไม่คิดว่าเราต้องรู้เรื่องมาก่อน เริ่มจาก 0 จริง ๆ แล้วพอเรียนจบคือ ความรู้ ถึง 100 อ่ะ”

สอบติด: วิทยาลัยศาสนศึกษา มหาวิทยาลัยมหิดล

คอร์สที่เรียน:

กุ๊กกุ๋ย

(กนกวรรณ บรรดาศักดิ์)

  “พี่ ๆ เป็นกันเอง เข้าถึงง่าย สอนเข้าใจ ชอบความใส่ใจของคุณครู แล้วก็พี่แอดมินค่ะ”

สอบติด: คณะวิทยาศาสตร์ เคมี มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

คอร์สที่เรียน:

ต้นเฟิร์น

(ศศิธร ศรีสองเมือง)

    “ก่อนเรียนหนูได้เกรด 2.5 แต่พอหลังจากเรียนโอเคมาก ๆ ค่ะ หนูได้เกรด 4 ทั้ง 2 เทอมของ ม.6 และประทับใจที่ความสะดวกนี่แหละค่ะ เราจะเรียนที่ไหนตอนไหนก็ได้คือว่าตอบโจทย์มาก ๆ เลยค่ะ คอร์สที่หนูลงได้หนังสือกับเล่มที่เป็นแบบเรียนที่จะได้ฝึกอ่ะค่ะ รู้สึกว่าโอเคมาก ๆ ค่ะ”

สอบติด: คณะแพทยศาสตร์ มหาวิทยาลัยมหาสารคาม

คอร์สที่เรียน:

ปอ

(สิริกร ทีปะนาถ)

    “ตอนแรกก็คิดว่าจะเทเคมีค่ะ เพราะทำข้อสอบไม่น่าจะทัน แต่พอมาเรียนก็เหมือนได้ฝึกเพิ่มเติมจนคล่องเลยทำทันพอดี ฟิสิกส์ก็เหมือนได้ทวนโจทย์ผ่าน ๆ ตามาก่อนก็ช่วยลดความกดดันก่อนสอบได้ดีค่า”

สอบติด: คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี ภาคสถิติศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

คอร์สที่เรียน:

เคท

(โยษิตา จันทร)

    “ตอนแรกก็ไม่ชัวร์ว่าคอร์สที่ลงจะตอบโจทย์จริง ๆ มั้ย แต่ก็ตัดสินใจลองลงไป พอเรียนแล้วรู้สึกโอเคมากเลยค่ะ อย่างวิชาฟิสิกส์หรือเคมีที่มีบางเรื่องที่ยังไม่เข้าใจขนาดนั้น พอมาฟังพี่ ๆ สอนในคอร์สอีกทีก็เข้าใจขึ้น แล้วพี่ ๆ ก็มีเทคนิคการทำโจทย์ให้ด้วย หลังจากได้เรียนก็ทำให้สามารถทำโจทย์ได้มากกว่าเดิมเพราะเก็ทคอนเซปต์ของโจทย์หลายข้อขึ้นค่ะ”

สอบติด: คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี ภาคสถิติศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

คอร์สที่เรียน:

Previous
Next
ทำเนียบคนเก่ง->

⚡ทำความรู้จักพี่นัท💡

ดร.ณัฏฐพล อิสรเสรีรักษ์ (อ.นัท)

ดร.ณัฏฐพล อิสรเสรีรักษ์ (อ.นัท)

● ปริญญาตรี โท เอก คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาฯ
● บัณฑิตศึกษาปริญญาโทที่มีผลการเรียนดีเด่น (รางวัล ดร.แถบ นีละนิธิ)
● อาจารย์พิเศษ วิชาเคมี ห้องเรียนพิเศษ gifted โรงเรียนมัธยม
● วิทยากรรับเชิญ เตรียมสอบ O-NET วิชาวิทยาศาสตร์ ม.ต้น ม.ปลาย
● วิทยากรรับเชิญเตรียมสอบ PAT2 และ วิชาสามัญ (เคมี)

● ปริญญาตรี โท เอก คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาฯ
● บัณฑิตศึกษาปริญญาโทที่มีผลการเรียนดีเด่น (รางวัล ดร.แถบ นีละนิธิ)
● อาจารย์พิเศษ วิชาเคมี ห้องเรียนพิเศษ gifted โรงเรียนมัธยม
● วิทยากรรับเชิญ เตรียมสอบ O-NET วิชาวิทยาศาสตร์ ม.ต้น ม.ปลาย
● วิทยากรรับเชิญเตรียมสอบ PAT2 และ วิชาสามัญ (เคมี)

● ปริญญาตรี โท เอก คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาฯ
● บัณฑิตศึกษาปริญญาโทที่มีผลการเรียนดีเด่น (รางวัล ดร.แถบ นีละนิธิ)
● อาจารย์พิเศษ วิชาเคมี ห้องเรียนพิเศษ gifted โรงเรียนมัธยม
● วิทยากรรับเชิญ เตรียมสอบ O-NET วิชาวิทยาศาสตร์ ม.ต้น ม.ปลาย
● วิทยากรรับเชิญเตรียมสอบ PAT2 และ วิชาสามัญ (เคมี)

คอร์สที่สอน
สมัครเรียนเลย!
กลับสู่หน้าหลัก
รวมคอร์สเรียน
บทความเคมี

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

คณิตศาสตร์ ม.4 – ตรรกศาสตร์

PANYA SOCIETY

ตรรกศาสตร์

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

กลับมาพบกันอีกครั้งกับพี่นอต แห่ง Panya Society ในบทความ สรุปเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ มัธยมปลาย ระดับชั้น ม.4 เทอม 1 นะครับ วันนี้พี่นอตขอนำเสนอในเรื่อง “ตรรกศาสตร์” ครับ “ตรรกศาสตร์” เป็นบทถัดมาจากเรื่อง “เซต” ที่น้องๆจะได้เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์ ม. 4 เทอม 1 โดย “ตรรกศาสตร์” จะเป็นเรื่องที่กล่าวถึงการให้เหตุผล การโต้แย้งที่สมเหตุสมผลในเรื่องต่างๆ ที่เกิดขึ้นรอบตัวเรา และก็ยังเป็นบทเรียนที่สำคัญ ในการนำไปใช้เป็นพื้นฐานเพื่อประยุกต์สู่เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมปลายที่จะมีความเข้มข้นมากขึ้น

นั้นทำให้บทเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 เรื่อง “ตรรกศาสตร์” มีความสำคัญเป็นอย่างยิ่งที่น้องๆจะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และปูพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อเตรียมความพร้อมในการรับมือกับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย และใช้ในการทำข้อสอบที่มีความหลากหลายและโจทย์ที่ประยุกต์หลายๆ บทเรียนเข้าไว้ด้วยกัน เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจ โดยมี “ตรรกศาสตร์” เป็นส่วนหนึ่งของชุดความรู้สำคัญที่จำเป็นต้องนำไปประยุกต์ได้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS ต่อไป ในข้อสอบ A – Level คณิตศาสตร์ ดังนั้นน้องๆ อย่าทิ้งบทนี้นะครับ หมั่นทบทวนเนื้อหา และไม่ลืมที่จะเก็บเนื้อหาสาระสำคัญต่างๆด้วยนะครับ

เนื้อหาหลักของบทนี้ประกอบด้วย รายละเอียดบทย่อย ดังนี้

ดูรายละเอียดคอร์ส คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

ประพจน์

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกค่าความจริงว่า เป็นจริงหรือเท็จได้ จะอยู่ในรูปแบบของประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ มักใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s หรือตัวอักษรอื่นๆในการแทนประพจน์

ข้อสังเกต ประโยคที่จะเป็นประพจน์ได้จะต้องไม่มีความกำกวม ต้องสามารถตอบได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ตัวอย่างเช่น ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่

  • 1 + 1 = 8 เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จ
  • กรุงเทพฯเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นจริง
  • นั่นคือตัวอะไร ไม่เป็น เพราะเป็นประโยคคำถาม
  • x เป็นจำนวนจริง ไม่เป็น เพราะไม่รู้ว่า x คืออะไร

การเชื่อมประพจน์

การเชื่อมประพจน์ มีด้วยกัน 4 แบบ ได้แก่

  1. และ (∧) เป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ T ∧ T เป็น T
  2. หรือ (∨) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ F ∨ F เป็น F
  3. ถ้า…แล้ว (→) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ T → F เป็น F
  4. ก็ต่อเมื่อ (↔) ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ

หรือดังตารางต่อไปนี้

pqp∧qp∨qp→qp↔q
TTTTTT
TFFTFF
FTFTTF
FFFFTT

ค่าความจริงของประพจน์

การหาค่าความจริงของประพจน์ โดยที่โจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให้ ต้องพิจารณาค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากประพจน์ย่อยๆ วิธีที่นิยมคือการสร้างตารางค่าความจริง

ซึ่งถ้ามีประพจน์ย่อยทั้งหมด n ประพจน์ จะได้ค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 2n กรณี

ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ (p∨q)↔p

วิธีทำ ประพจน์ (p∨q)↔p มีประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ คือ p และ q ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 22 = 4 กรณี สามารถสร้างตารางได้ดังนี้
p q p∨q (p∨q)↔p
T T T T
T F T T
F T T F
F F F T

การสมมูลและนิเสธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ (จากจริงเป็นเท็จ/จากเท็จเป็นจริง) สามารถเขียนแทนนิเสธของประพจน์ p ได้ด้วย ~p

การสมมูลของประพจน์ การที่ประพจน์ 2 ประพจน์สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้ง 2 ประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกรณี สามารถเขียนแทนการสมมูลด้วย “≡”

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

  1. ~(~p) ≡ p
  2. p∧q ≡ q∧p
  3. p∨q ≡ q∨p
  4. p↔q ≡ q↔p
  5. p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r
  6. p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r
  7. p↔(q↔r) ≡ (p↔q)↔r
  8. p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
  9. p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
  10. p→q ≡ ~p∨q
  11. p→q ≡ ~q→~p
  12. p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
  13. ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
  14. ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
  15. ~(p→q) ≡ ~(~p∨q) ≡ p∧~q
  16. ~(p↔q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q
  17. ~(p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p)

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือไม่

วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงได้ 4 กรณี ได้ดังนี้

pq~p~p→qp∨q
TTFTT
TFFTT
FTTTT
FFTFF

จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p→q และ p∨q พบว่ามีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือ ~p→q ≡ p∨q

สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล

สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่จะมีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

วิธีการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์

  1. สร้างตารางค่าความจริง ให้สร้างตารางค่าความจริง แล้วดูค่าความจริงขั้นสุดท้ายของประพจน์ว่าเป็นจริง (T) ทุกกรณีหรือไม่ ถ้าเป็นจริงทุกกรณีแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
  2. การใช้สมบัติข้อขัดแย้ง โดยสมมติให้ประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) จากนั้นวิเคราะห์ย้อนกลับไปยังประพจน์ย่อยๆ เพื่อดูค่าความจริงของประพจน์ว่าขัดแย้งกันหรือไม่
    1. ถ้าขัดแย้งกันแสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรัดร์
    2. ถ้าไม่ขัดแย้งกันแสดงว่า มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็ไม่เป็นสัจนิรัดร์

การอ้างเหตุผล คือ การสรุปว่าสิ่งที่ระบุมานั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ เริ่มจากนำข้อความที่กำหมดให้ซึ่งจะมี เหตุ(P) และ ผล(C) โดยนำ “เหตุ” ทั้งหมดมาเชื่อมด้วย “และ (∧)” แล้วนำไปเชื่อมด้วย “ถ้าแล้ว (→)” กับ “ผล” แล้วดูว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์แปลว่าข้อความนั้นสมเหุสมผล

ตัวอย่าง การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

  • เหตุ
    • p→q
    • ~q
  • ผล
    • ~p

วิธีทำ นำเหตุทั้งหมดมาเชื่อมกันด้วย ∧ แล้วเชื่อมกับผลด้วย → จะได้ [(p→q)∧~q]→~p แล้วตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริงดังนี้

pq~p~qp→q(p→q)∧~q[(p→q)∧~q]→~p
TTFFTFT
TFFTFFT
FTTFTFT
FFTTTTT

จากตารางค่าความจริงพบว่าประพจน์ [(p→q)∧~q]→~p เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรแล้วเมื่อแทนตัวแปรลงไปจะได้เป็นประพจน์ เช่น

  • a เป็นจำนวนคี่
  • คนสวมเสื้อสีแดงอ่อน

ตัวบ่งปริมาณ คือ ข้อความที่บอกเงื่อนไขของค่าตัวแปรที่จะนำไปแทน เพื่อให้ประโยคเปิด กลายเป็นประพจน์ มี 2 แบบ คือ

  • ∀x หมายถึง x ทุกตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์
  • ∃x หมายถึง x บางตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์

คุยกันท้ายบท

แบบฝึกหัด

1. กำหนดให้ p, q เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง r, s เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้

  • [(p↔r)∧~q]→(~p∨~s)

เฉลย

2. การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

  • เหตุ
    • ถ้าวิชัยขยัน แล้ววิชัยสอบได้ที่ 1
    • วิชัยสอบได้ที่ 1
  • ผล
    • วิชัยขยัน

เฉลย

เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาและแบบฝึกหัดของเรื่อง “ตรรกศาสตร์” คงจะไม่ยากเกินไปใช่ไหมครับ รวมไปถึงตอนนี้น้องๆคงจะเห็นได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มีความแตกต่างกันอย่างไรกับตอนช่วง ม.ต้น ซึ่งวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 จะเป็นช่วงของการปูพื้นฐาน และปรับความพร้อมให้กับน้องๆในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไปทั้งตลอดระดับชั้น และอย่างที่พี่นอต ได้เกรินไว้ว่าเรื่อง “ตรรกศาสตร์” นี้เองก็จะเป็นพื้นฐานในการต่อยอดไปยังเนื้อหาอื่นๆ ซึ่งจะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นไปอีก รวมไปถึงยังสามารถพบเห็นในได้ในการเรียนระดับมหาวิทยาลัยในบางคณะ เช่น คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์ รวมไปถึงคณะวิทยาศาสตร์บางสาขาอีกด้วย ดังนั้นพี่จึงอยากให้น้องๆทุกคนควรให้ความสำคัญกับการเรียนเพื่อความเข้าใจสูงสุดในเนื้อหาของบทเรียนต่างๆ พร้อมกับฝึกทำโจทย์บ่อยๆ

และถ้าน้องๆคนไหนอยากได้เนื้อหาที่ละเอียดกว่านี้ รวมไปถึงแบบฝึกหัดที่เข้มข้นกว่านี้ พี่นอตขอแนะนำคอร์สวิชา “คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1” จากทาง Panya Society ที่มีการปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับยาก เน้นความเข้าใจ ไม่เน้นการท่องจำ พร้อมทั้งแบบฝึกหัด รวมไปถึงตัวอย่างข้อสอบจากข้อสอบจริงในการสอบเข้าระดับมหาวิทยาลัย A – Level ทำให้คอร์สนี้เหมาะกับน้องๆ ทุกคนที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ หรือไปเรียนพิเศษคณิตศาสตร์จากที่อื่นมาแล้วก็ยังไม่เข้าใจ ด้วยการสอนคณิตศาสตร์อย่างบูรณาการ พี่ๆทั้งสองคนรับรองได้เลยว่าคอร์สจากทาง Panya Society นี้จะแตกต่างกับที่เรียนพิเศษคณิตศาสตร์ที่อื่นๆ อย่างแน่นอน

สุดท้ายนี้พี่นอตหวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมไปถึงวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลายไปตลอดทั้งระดับชั้น และขอให้น้องๆประสบความสำเร็จในการเรียนเทอมนี้ ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แล้วกันใหม่ในสรุปเนื้อหาเรื่อง “จำนวนจริง” นะครับ 🙂

ดูรายละเอียดคอร์ส คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
PREVIOUS

เซต

NEXT

จำนวนจริง

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

TAG:

คณิตศาสตร์, ม.4, เทอม 1, เซต, PAT1, 9 วิชาสามัญ, A – Level

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube

คณิตศาสตร์ ม.4 – เซต

PANYA SOCIETY

เซต

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

“เซต” คือบทแรกของคณิตศาสตร์ ม. 4 เทอม 1 และยังเป็นบทเรียนแรกสุดของวิชาคณิตศาสตร์ ในระดับชั้นมัธยมปลายอีกด้วย และก็ยังเป็นบทสำคัญในการนำไปใช้เป็นพื้นฐานเพื่อประยุกต์สู่เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมปลายที่จะมีความเข้มข้นขึ้น เช่น “ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน” “หลักการนับเบื้องต้น” เป็นต้น

นั้นทำให้บทเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 เรื่อง “เซต” มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้องๆจะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และปูพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย และใช้ในการทำข้อสอบที่มีความหลากหลายและโจทย์ที่ประยุกต์หลายๆ บทเรียนเข้าไว้ด้วยกัน เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจ โดยมี “เซต” เป็นส่วนหนึ่งของชุดความรู้สำคัญที่จำเป็นต้องนำไปประยุกต์ได้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS ต่อไป ในข้อสอบ A – Level ดังนั้นน้องๆ อย่าทิ้งบทนี้นะครับ หมั่นทบทวนเนื้อหา และไม่ลืมที่จะเก็บเนื้อหาสาระสำคัญต่างๆด้วยนะครับ

เนื้อหาหลักของบทนี้ประกอบด้วย รายละเอียดบทย่อย ดังนี้

ดูรายละเอียดคอร์ส คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต

นิยามของเซต เซต คือ คำที่ใช้บ่งบอกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ทำให้ทราบว่าเมื่อพูดถึงกลุ่มใดแล้วก็จะทราบได้อย่างแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม โดยจะเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิกของเซต เช่น

เซตของอักษรสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุ่มของอักษร a, e, i, o, และ u
  • จำนวนสมาชิกเซต A เขียนแทนด้วย n(A)
  • a เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย a ∈ A
  • b ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย b ∉ A

การเขียนเซต เซตสามารถเขียนได้สองแบบคือ แบบแจกแจงสมาชิก กับ แบบมีเงื่อนไข

  • แบบแจกแจงสมาชิก แสดงสมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซตนั้นในวงเล็บ { } คั่นด้วยเครื่องหมาย , เช่น A = { a, b, c, d, f }
  • แบบบอกเงื่อนไข แสดงสมาชิกโดยการเขียนเป็นเงื่อนใข ในรูป {สมาชิก I เงื่อนไข} เช่น B = { 2, 4, 6, 8 | จำนวนเต็มคู่บวกที่น้อยกว่า 10 }

ชนิดของเซต

  • เซตอนันต์ มีจำนวนสมาชิกมากไม่มีสิ้นสุด เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก = { 1, 2, 3, 4, … }
  • เซตจำกัด สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น เซตของชื่อวันในสัปดาห์ = { วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, … , วันเสาร์, วันอาทิตย์ }
  • เซตว่าง (∅, { }) เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย และเซตว่างก็นับว่าเป็นเซตจำกัด

การเท่ากันของเซต การเท่ากันของเซต จะต้องมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกตัว (สลับที่สมาชิกได้) สมาชิกที่ซ้ำกันจะนับเป็นตัวเดียวกันไม่นับซ้ำ เขียนแทนด้วย A = B

เอกภพสัมพัทธ์ คือ ขอบเขตที่เราสนใจ สมาชิกทุกตัวของเซตต่าง ๆ จะต้องอยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ มักใช้สัญลักษณ์ U

สับเซต A เป็นสับเซตของ B แปลว่าสมาชิกทุกตัวของ A ต้องมีอยู่ใน B จะเป็นเซตที่เท่ากันเลยก็ได้ (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต มีสัญลักษณ์การเป็น และไม่เป็นสับเซต คือ ⊂, ⊄ ตามลำดับ) เช่น กำหนดให้

  • A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
  • B = { 2, 4 }
  • C = { 3, 5, 7 }

ดังนั้น B ⊂ A แต่ C ⊄ A

สมบัติเกี่ยวกับสับเซตที่น่าสนใจ

  1. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B
  2. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
  3. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง คือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว A ⊂ A
  4. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต คือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว ∅ ⊂ A
  5. ถ้า n(A) = n แล้ว จำนวนสับเซตของเซต A เท่ากับ 2n สับเซต

พาวเวอร์เซต พาวเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) หมายถึง เซตของสับเซตทั้งหมดของ A และจำนวนของสมาชิกของพาวเวอร์เซตหาได้จาก

n(P(A))= 2n

เช่น กำหนดให้ A = { 1, 2 } จงหาสับเซต และพาวเวอร์เซตของ A

วิธีทำ

  • สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {2}, {1,2}
  • ดังนั้น พาวเวอร์เซตของ P(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }
  • n(P(A))= 2n = 22 = 4

สมบัติเกี่ยวกับพาวเวอร์เซตที่น่าสนใจ เมื่อ A, B, X เป็นเซตใดๆ

  1. X ∈ P(A) ก็ต่อเมื่อ X ⊂ A
  2. A ∈ P(A)
  3. สำหรับทุกเซต A ใดๆ จะได้ว่า ∅ ∈ P(A) และ ∅ ⊂ P(A) ด้วย
  4. P(A) ≠ ∅ สำหรับทุกๆเซต A
  5. P(∅) = {∅}
  6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
  7. ถ้า A เป็นเซตจำกัด ซึ่ง n(A) = n แล้ว n(P(A)) = 2n
  8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ แล้ว P(A) เป็นเซตอนันต์

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์

การใช้แผนภาพเวนน์ออยเลอร์ มักวาดรูปเซตเป็นวงกลมและวาดเอกภพสัมพัทธ์ (U) เป็นสี่เหลี่ยมที่ล้อมวงกลมไว้ ตัวอย่างเช่น

    1. สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

    1. ไม่สมาชิกตัวใดของ A เป็นสมาชิกของ B

    1. สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

การดำเนินการระหว่างเซต

  • ยูเนียน (∪) A ∪ B คือ เซตของสมาชิกทั้งหมดของ A รวมกับสมาชิกทั้งหมดของ B โดยตัวซ้ำนับเป็นตัวเดียว
  • อินเตอร์เซกชัน (∩) A ∩ B คือ เซตของสมาชิกทั้งหมดของ A และ B ที่ซ้ำกัน
  • ผลต่างระหว่างเซต (-) A – B คือ เซตของสมาชิกทั้งหมดของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B
  • คอมพลีเมนต์ (‘) A’ คือ เซตของสมาชิกทั้งหมดของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A

ตัวอย่าง กำหนดให้

  • U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • A = {2, 4, 6, 8}
  • B = {2, 3, 5, 7}

ดังนั้น

  • A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
  • A ∩ B = {2}
  • A – B = {4, 6, 8}
  • B – A = {3, 5, 7}
  • A’ = {1, 3, 5, 7, 9}
  • B’ = {1, 4, 6, 8, 9}

คุณสมบัติของการดำเนินการระหว่างเซต

  1. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
  2. (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
  3. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
  4. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

  1. n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)
  2. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
  3. n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) –  n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) +  n(A ∩ B ∩ C)

ตัวอย่าง นักเรียนชั้น ม.4 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีจำนวน 100 คนได้รับรางวัลเรียนดี 30 คน ได้รับรางวัลมารยาทดี 50 คน ในจำนวนนี้ได้รับรางวัลทั้งสองประเภท 20 คน จงหา

  • จำนวนนักเรียนทั้งหมดที่ได้รับรางวัล
  • จำนวนนักเรียนที่ไม่ได้รับรางวัลใดๆเลย

วีธีทำ

  • ให้ A แทนเซตนักเรียนที่ได้รับรางวัลเรียนดี
  • ให้ B แทนเซตนักเรียนที่ได้รับรางวัลมารยาทดี

จากโจทย์จะได้ n(U) = 100, n(A) = 30, n(B) = 50, n(A ⋂ B) = 20

  • จำนวนนักเรียนทั้งหมดที่ได้รับรางวัล เขียนแทนด้วย n(A ⋃ B)
    • จาก n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)
    • จะได้ n(A ⋃ B) = 30 + 50 – 20 = 60
    • ดังนั้น จำนวนนักเรียนทั้งหมดที่ได้รับรางวัล คือ 60 คน
  • จำนวนนักเรียนที่ไม่ได้รับรางวัลใดๆเลย เขียนแทนด้วย n((A ⋃ B)’)
    • จาก n((A ⋃ B)’) = n(U) – n(A ⋃ B)
    • จะได้ n((A ⋃ B)’) = 100 – 60 = 40
    • ดังนั้น จำนวนนักเรียนที่ไม่ได้รับรางวัลใดๆเลย คือ 40 คน

คุยกันท้ายบท

แบบฝึกหัด
  1. ในการสำรวจความเห็นของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายจำนวน 880 คน เพื่อสอบถามข้อมูลเกี่ยวกับ
    การศึกษาต่อ ปรากฏผลดังนี้
    มีผู้ต้องการศึกษาต่อ 725 คน
    มีผู้ต้องการทำงาน 160 คน
    มีผู้ต้องการศึกษาต่อหรือทำงาน 813 คน
    ผู้ต้องการศึกษาต่อและทำงานด้วยมีจำนวนเท่ากับเท่าใด?
    เฉลย
  2. กำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ ถ้า
    n( A ∪ B ∪ C ) = 91,
    n( A ∩ B′ ∩ C′ ) = 11,
    n(( B – A ) ∩ ( B – C )) = 15,
    n( A ∩ B ∩ C ) = 20,
    n(( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )) = 47 และ
    n( C ) = 59
    แล้ว n( A′ ∩ B′ ∩ C ) เท่ากับเท่าใด?
    เฉลย

เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาและแบบฝึกหัดของเรื่อง “เซต” คงจะไม่ยากเกินไปใช่ไหมครับ รวมไปถึงตอนนี้น้องๆคงจะเห็นได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มีความแตกต่างกันอย่างไรกับตอนช่วง ม.ต้น ซึ่งวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 จะเป็นช่วงของการปูพื้นฐาน และปรับความพร้อมให้กับน้องๆในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไปทั้งตลอดระดับชั้น และอย่างที่พี่นอตได้เกรินไว้ว่าเรื่อง “เซต” นี้เองก็จะเป็นพื้นฐานในการต่อยอดไปยังเนื้อหาอื่นๆ เช่น “ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน” “หลักการนับเบื้องต้น” ซึ่งจะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นไปอีก ดั้งนั้นพี่จึงอยากให้น้องๆทุกคนควรให้ความสำคัญกับการเรียนเพื่อความเข้าใจสูงสุดในเนื้อหาของบทเรียนต่างๆ พร้อมกับฝึกทำโจทย์บ่อยๆ

และถ้าน้องๆคนไหนอยากได้เนื้อหาที่ละเอียดกว่านี้ รวมไปถึงแบบฝึกหัดที่เข้มข้นกว่านี้ พี่นอตขอแนะนำคอร์สวิชา “คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1” จากทาง Panya Society ที่มีการปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับยาก เน้นความเข้าใจ ไม่เน้นการท่องจำ พร้อมทั้งแบบฝึกหัด รวมไปถึงตัวอย่างข้อสอบจากข้อสอบจริงในการสอบเข้าระดับมหาวิทยาลัย A – Level ทำให้คอร์สนี้เหมาะกับน้องๆ ทุกคนที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ หรือไปเรียนพิเศษคณิตศาสตร์จากที่อื่นมาแล้วก็ยังไม่เข้าใจ ด้วยการสอนคณิตศาสตร์อย่างบูรณาการในคอร์สนี้ พี่ๆทั้งสองคนรับรองได้เลยว่าคอร์สจากทาง Panya Society นี้จะแตกต่างกับที่เรียนพิเศษคณิตศาสตร์ที่อื่นๆ อย่างแน่นอน

สุดท้ายนี้พี่หวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมไปถึงวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลายไปตลอดทั้งระดับชั้น และขอให้น้องๆประสบความสำเร็จในการเรียนเทอมนี้ ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แล้วกันใหม่ในสรุปเนื้อหาเรื่อง “ตรรกศาสตร์” นะครับ 🙂

ดูรายละเอียดคอร์ส คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1
PREVIOUS

สรุปเนื้อหาที่สำคัญ

NEXT

ตรรกศาสตร์

ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์

  • ทำงานตำแหน่ง Software Engineer ที่ Google กว่า 10 ปี
  • ได้รับทุนเล่าเรียนหลวงไปศึกษาระดับปริญญาตรี ด้าน Electrical and Computer Engineering และ Computer Science ที่ Carnegie Mellon University สหรัฐอเมริกา
  • จบปริญญาเอก ด้าน Artificial Intelligence พร้อมรางวัลนักเรียนดีเด่นจาก UCLA
  • ผลงานวิจัยด้าน Artificial Intelligence (AI) ของพี่นอตได้รับรางวัลงานวิจัยดีเยี่ยมจาก สำนักงานคณะกรรมการวิจัยแห่งชาติในปี 2557

ตัวอย่างการสอน โดยพี่นอต

Math Magic

6 Videos

เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด

: คอร์สแนะนำ :

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.4 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.5 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 1

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด

คณิตศาสตร์เสริม ม.6 เทอม 2

฿1,990

฿5,000

รายละเอียด
Previous
Next

TAG:

คณิตศาสตร์, ม.4, เทอม 1, เซต, PAT1, 9 วิชาสามัญ, A – Level

SHARE:

Facebook Twitter Instagram Youtube