สูตรคณิต ม.ปลาย นั้นมีมากมาย วันนี้พี่จะมาคัดสูตรสรุปคณิต A-Level ที่ออกสอบบ่อย มาดูกันว่าแต่ละบทมีสูตรไหนที่สำคัญบ้าง ไปดูกันเลย

บทที่ 1 : เซต

หลักการที่ใช้บ่อย :

• n(P(A)) = 2^n(A)
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
• n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

บทที่ 2 : ตรรกศาสตร์

หลักการที่ใช้บ่อย :

• และ (∧) เป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ T ∧ T ≡ T
• หรือ (∨) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ F ∨ F ≡ F
• ถ้า…แล้ว (→) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ T → F ≡ F
• ก็ต่อเมื่อ (↔) ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ
• p → q ≡ ~p ∨ q

บทที่ 3 : จำนวนจริง

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ทฤษฎีบทเศษเหลือ :
  P(x) หารด้วย x – c จะเหลือเศษเท่ากับ P(c)
• สมการพหุนาม :
  เมื่อ ax² + bx + c = 0 จะได้ 
  x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
• ค่าสัมบูรณ์ :
  |x| = a จะได้  x = a หรือ x = -a
  |x| < a จะได้ -a < x < a
  |x| > a จะได้ x > a หรือ x < -a

บทที่ 4 : ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

หลักการที่ใช้บ่อย :

• การหาโดเมนและเรนจ์ :
  เศษส่วน : 
  – ตัวส่วน ≠ 0
  – ถ้าตัวเศษ ≠ 0 แล้วค่าของเศษส่วนจะ ≠ 0
  เครื่องหมายรูท :
  – ข้างในเครื่องหมายรูท ≥ 0
  – ค่าของรูท ≥ 0
  เลขยกกำลังคู่ :
  – เลขฐานเป็นจำนวนจริง
  – ค่าของกำลังสอง ≥ 0
  ค่าสัมบูรณ์:
  – ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นจำนวนจริง
  – ค่าของค่าสัมบูรณ์ ≥ 0
• ฟังก์ชันอินเวอร์ส : 
  f^-1 ได้โดยเปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x
  และมีเงื่อนไขว่าโดเมนและเรนจ์จะต้องถูกต้อง
  ถ้า f^-1 เป็นฟังก์ชัน แล้ว f(a) = b จะได้ว่า f^-1(b) = a
• ฟังก์ชันประกอบ : 
  (g∘f)(x) = g(f(x))
  (g∘f)^-1(x) = f^-1(x) ∘ g^-1(x)

บทที่ 5 : ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

หลักการที่ใช้บ่อย :

• a^m⋅aⁿ = a^{(m + n)}
• a^m / aⁿ = a^{(m – n)}
• (a^m)ⁿ = a^mn
• a^-n = 1 / aⁿ
• log_a(MN) = log_aM + log_aN
• log_a(M / N) = log_aM – log_aN
• log_a(Mⁿ) = n log_aM
• log_aⁿ(M) = (1/n) log_aM

บทที่ 6 : เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ระยะห่างระหว่างจุด : d = √( (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)² )
• ความชันของเส้นตรง : m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
• สมการเส้นตรง :  y = mx + c
• ภาคตัดกรวย :
  สมการวงกลม   (x – h)² +  (y – k)² = r²

  สมการพาราโบลาหงาย/คว่ำ   (x – h)² = ±4c(y – k)
  สมการพาราโบลาตะแคงขวา/ซ้าย   (y – k)² = ±4c(x – h)
  สมการวงรีแนวนอน   (x – h)² / a² + (y – k)² / b² = 1
  สมการวงรีแนวตั้ง   (y – k)² / a² + (x – h)² / b² = 1
  สมการไฮเพอร์โบลาแนวนอน   (x – h)² / a² – (y – k)² / b² = 1
  สมการไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง   (y – k)² / a² – (x – h)² / b² = 1

บทที่ 7 : ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักการที่ใช้บ่อย :

• sin²θ + cos²θ = 1
• sin⁡(A ± B) = sin⁡A cos⁡B ± cos⁡A sin⁡B
• cos⁡(A ± B) = cos⁡A cos⁡B ∓ sin⁡A sin⁡B
• tan⁡(A ± B) = (tan⁡A ± tan⁡B) / (1 ∓ tan A tan B)
• กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ :
  sin⁡A / a = sin⁡B / b = sin⁡C / c
  a² = b² + c² – 2bc cos⁡A

บทที่ 8 : เมทริกซ์

หลักการที่ใช้บ่อย :

• det⁡(AB) = det⁡(A) ∙ det⁡(B)
• det⁡(kA) = kⁿ ∙ det⁡A
• การดำเนินการตามแถว : 
  – นำค่าคงที่ k โดย k ไม่เท่ากับ 0 ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง
            det_ใหม่ = k det_เก่า
  – เปลี่ยนแถวที่ i โดยนำค่าคงที่ k ไปคูณกับแถวอื่น แล้วนำไปบวกกับแถวที่ i
            det_ใหม่ = det_เก่า
  – สลับแถวที่ i กับแถวอื่น
            det_ใหม่ = -det_เก่า

บทที่ 9 : เวกเตอร์

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ขนาดของเวกเตอร์ u = a i + b j + ck  หาได้จาก |u| = √(a² + b² + c²)
• u ∙ v = |u||v| cos⁡θ
• ถ้า u ∙ v = 0 จะได้ว่า u ตั้งฉากกับ v
• |u × v| = |u||v| sin⁡θ

บทที่ 10 : จำนวนเชิงซ้อน

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ถ้า z = a + bi จะได้ |z| = √(a² + b²)
• รูปเชิงขั้ว : z = r(cos⁡θ + i sin⁡θ)
• zⁿ = rⁿ (cos⁡(nθ) + i sin(nθ))

บทที่ 11 : หลักการนับเบื้องต้น

หลักการที่ใช้บ่อย :

• การเรียงสับเปลี่ยน : P(n, r) = n! / (n – r)!
• การจัดหมู่ : C(n, r) = n! / ((n – r)! r!)

บทที่ 12 : ความน่าจะเป็น

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ : P(E) = n(E) / n(S)
• การหาความน่าจะเป็นโดยใช้เซต :
  P(A ∪ B) = P(A) + P(A) – P(A ∩ B)
  P(A’) = 1 – P(A)

บทที่ 13 : ลำดับและอนุกรม

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ลำดับและอนุกรมเลขคณิต : 
  a_n = a₁ + (n – 1)d
  s_n = (n/2)(2a₁ + (n – 1)d)
• ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต :
  a_n = a₁ r^{n – 1}
  s_n = a₁ (1 – rⁿ) / (1 – r)
  s_∞ = a₁ / (1 – r)    เมื่อ -1 < r < 1 และ r ≠ 0

บทที่ 14 : แคลคูลัสเบื้องต้น

หลักการที่ใช้บ่อย :

• d/dx (xⁿ) = n x^{n – 1}
• (g๐f)´(x) = g´(f(x)) f´(x)
• จุดสูงสุด/ต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) จะมี f'(x) = 0
• ∫ xⁿ dx = [ x^{n + 1} / (n + 1) ] + c

บทที่ 15 : สถิติ

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑x_i / N
• มัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมากหรือมากไปน้อย
• ฐานนิยม คือ ค่าข้อมูลตัวที่ซ้ำมากที่สุด ซึ่งอาจมีได้มากกว่าหนึ่งค่า
• การวัดตำแหน่งข้อมูล :
  ตำแหน่ง Q_r = r(N + 1) / 4
  ตำแหน่ง D_r = r(N + 1) / 10
  ตำแหน่ง P_r = r(N + 1) / 100
• S.D. = √(∑(x_i – x ̅ )² / N)

บทที่ 16 : ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

หลักการที่ใช้บ่อย :

• ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม : μ_X = ∑x_i P(X = x_i)
• การแจกแจงทวินาม : P(X = x_i) = p^x_i (1 – p)^{n – x_i} C(n, x_i)
• การแจกแจงปกติ : z_i = (x_i – μ) / σ

มาถึงจุดนี้น้อง ๆ ก็จะได้เห็น สรุปคณิต A-Level แล้วว่าบทไหนใช้สูตรไหนบ่อย หวังว่าจะช่วยให้น้อง ๆ ทบทวนเนื้อหาได้ดีขึ้นนะครับ