บทนี้จะเรียนเกี่ยวกับรูปร่างต่าง ๆ ที่เกิดจากการตัดทรงกรวยด้วยระนาบหนึ่ง โดยการตัดทำมุมต่าง ๆ กัน จะทำให้ได้รอยเฉือนรูปร่างต่าง ๆ ได้แก่ วงกลม, วงรี, พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

ซึ่งคุณสมบัติของรูปร่างต่าง ๆ เหล่านี้ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้ โดยเฉพาะในทางวิทยาศาสตร์ และดาราศาสตร์

วงกลม
นิยามของวงกลม คือ เซตของจุดที่มีระยะห่างจากจุด ๆ หนึ่ง (จุดศูนย์กลางของวงกลม) เป็นระยะเท่า ๆ กัน จะได้ว่า ทุก ๆ จุดบนวงกลมจะมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมี

สมการวงกลม กลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และมีรัศมียาว r หน่วย จะมีสมการ คือ

(x – h)² + (y – k)² = r²

แต่สมการวงกลมสามารถเขียนได้อีกแบบดังนี้

จาก (x-h)² + (y-k)² = r²

จะได้ x² – 2hx + h² + y² – 2ky + y² = r²

x² + y² – 2hx – 2ky + h² + y² – r² = 0

ให้ A = -2h, B = -2k, C = h² + k² – r²

จะได้รูปทั่วไปของสมการวงกลม คือ x² + y² + Ax + By + C = 0

วงรี
นิยามของวงรี ให้ F₁ และ F₂ เป็นจุดใด ๆ จุด P ใด ๆ บนวงรีจะมีผลบวกของระยะจากจุดนั้นไปยังจุด F₁ และ F₂ เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่งเสมอ โดยที่ค่าคงที่นี้มีค่ามากกว่าระยะ F₁F₂ หรือก็คือ F₁P + F₂P = k โดยที่ k > F₁F₂ สำหรับทุกจุด P บนวงรี เรียกจุด F₁ และ F₂ ว่า จุดโฟกัส และเรียก k ว่า ผลบวกคงตัว

F₁P₁ + F₂P₁ = k = F₁P₂ + F₂P₂

ส่วนประกอบของวงรี กราฟวงรีที่จะศึกษาในตอนนี้มี 2 แบบ ดังนี้

ส่วนประกอบของวงรี มีดังนี้
1. จุดศูนย์กลางวงรี (จากรูปคือจุด C(h, k)) คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองจุด กำหนดให้ จุดโฟกัสทั้งสองห่างจากจุดศูนย์กลาง c หน่วย จะได้ว่า จุดโฟกัสทั้งสองห่างกัน 2c หน่วย

• ถ้าวงรีเป็นแนวนอน จะได้ว่าจุดโฟกัสคือ (h ± c, k)
• ถ้าวงรีเป็นแนวตั้ง จะได้ว่าจุดโฟกัสคือ (h, k ± c)

2. แกนเอก (จากรูปคือเส้นตรง V₁,V₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี และลากผ่านจุดโฟกัสทั้งสองจุด กำหนดให้ แกนเอกยาว 2a หน่วย

3. จุดยอดของวงรี (จากรูปคือจุด V₁ และ V₂) คือ จุดปลายของแกนเอก
จะเห็นว่า ผลบวกคงตัว จะมีค่าเท่ากับความยาวแกนเอก = 2a หน่วย

• ถ้าวงรีเป็นแนวนอน จะได้ว่าจุดยอดคือ (h ± a, k)
• ถ้าวงรีเป็นแนวตั้ง จะได้ว่าจุดยอดคือ (h, k ± a)
• จุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดทั้งสองจุด คือ จุดศูนย์กลางวงรี

4. แกนโท (จากรูปคือเส้นตรง B₁B₂) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี โดยตั้งฉากกับแกนเอก
และผ่านจุดศูนย์กลางวงรี กำหนดให้ แกนโทยาว 2b หน่วย ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหว่างจุดปลายของแกนโท คือ จุดศูนย์กลางวงรี

5. เส้นเลตัสเรกตัม (Latus Rectum) (คือ เส้นประทั้งสองเส้น ในรูปวงรีแนวนอน และวงรีแนวตั้ง) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย อยู่บนวงรี(คอร์ดของวงรี) โดยตั้งฉากกับแกนเอก และผ่านจุดโฟกัส

6. ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี (e) คือ ค่าที่บอกความรีของวงรี โดย e = c/a

• ค่า e มีค่าอยู่ในช่วง (0, 1)
• ถ้า e มีค่าเข้าใกล้ 1 วงรีจะรีมาก
• ถ้า e มีค่าเข้าใกล้ 0 วงรีจะรีน้อย

สมการวงรี

โจทย์ตัวอย่าง วงรีที่มีสมการเป็น ^(x+1)2⁄₂₅ + ^(y+2)2⁄₁₆ = 1

• เป็นวงรีแนวนอน หรือแนวตั้ง ?
• หาจุดศูนย์กลางวงรี ?
• จุดโฟกัส ความยาวแกนเอก ?
• จุดยอดของวงรี ?
• ความยาวแกนโท ?
• ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม ?
• ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรีนี้ ? เฉลย

พาราโบลา
นิยามของพาราโบลา ให้ L เป็นเส้นตรงใด ๆ และ F เป็นจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นตรง L จุด P ใด ๆ บนพาราโบลาจะมีระยะห่างจากเส้นตรง L เท่ากับ ระยะห่างจากจุด F เรียกจุด F ว่า จุดโฟกัสของพาราโบลา และเรียกเส้นตรง L ว่า เส้นไดเรกตริกซ์
ส่วนประกอบของพาราโบลา

กราฟพาราโบลาที่จะศึกษามี 4 แบบ ดังนี้

ส่วนประกอบของพาราโบลา มีดังนี้
1. จุดยอด (จากรูปคือ V(h, k)) คือ จุดที่แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดโฟกัสไปตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์ ให้ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสกับจดยอดเท่ากับ a จะได้ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสกับเส้นไดเรกตริกซ์เท่ากับ 2a

2. แกนสมมาตร คือ เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์ และผ่านจุดโฟกัส และจะผ่านจุดยอดด้วย แกนสมมาตรจะแบ่งกราฟพาราโบลาออกเป็น 2 ส่วนที่สมมาตรกัน

3. เส้นเลตัสเรกตัม (จากรูปคือ เส้นประ) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนพาราโบลา และลากผ่านจุดโฟกัส และขนานกับเส้นไดเรกตริกซ์ เส้นเลตัสเรกตัมยาวเท่ากับ 4a

ตารางแสดงส่วนประกอบของพาราโบลา

สมการของพาราโบลา

• พาราโบลาหงาย จะมีสมการ คือ (x – h)² = 4a(y – k)
• พาราโบลาคว่ำ จะมีสมการ คือ (x – h)² = -4a(y – k)
• พาราโบลาตะแคงขวา จะมีสมการ คือ (y – k)² = 4a(x – h)
• พาราโบลาตะแคงซ้าย จะมีสมการ คือ (y – k)² = -4a(x – h)

โจทย์ตัวอย่าง จงบอกลักษณะกราฟ จุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม และจุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัมของพาราโบลาที่มีสมการเป็น y² = -4x – 4 เฉลย

ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีสมการเป็น

y = a^x ,  a > 0 ,  a ≠ 1

แล้วฟังก์ชันลอการิทึมจะมีสมการเป็น

x = a^y , a > 0 , a ≠ 1

ซึ่งหากจะเขียนให้อยู่ในรูป y ในเทอมของ x จะเขียนได้เป็น

 y = log_ax

ซึ่งหมายถึง x = a^y ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึม คือ

f = {(x, y) | y = log_a x, a > 0, a ≠ 1}

ตัวอย่างเช่น
หาค่าของ log₂(32)

ให้ y = log₂(32)
จะได้ 2^y = 32
2^y = 2⁵
จะได้ว่า y = 5
ดังนั้น log₂(32) = 5

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากเป็นอินเวอร์สกัน กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จึงสมมาตรกันโดยมีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร ดังนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ a > 1

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม เมื่อ 0 < a < 1

สมบัติของลอการิทึม ให้ a, M, N เป็นจำนวนบวก ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 และ m, n เป็นจำนวนจริงใดๆ

แมนทิสซา และคาแรกเทอริสติก ให้ N เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็ม จะเขียน N ได้ในรูป

N = A×10ⁿ โดยที่ 1 ≤ A < 10 จะได้ว่า

• logN = log (A×10ⁿ) โดยที่ log1 ≤ logA < log10
• logN = logA + log10ⁿ
• logN = logA + nlog10 โดยที่ 0 ≤ logA < 1
• logN = logA + n

เรียก log A ว่า แมสทิสซา ของ log N ซึ่งค่าของ log A จะสามารถหาได้จากการเปิดตารางลอการิทึม
เรียก n ว่า คาแรกเทอริสติก ของ log N

สมการลอการิทึม คือ สมการที่มี x อยู่ในลอการิทึม โดยอาจอยู่ตรงเลขฐาน หรืออยู่หลัง log ก็ได้

การแก้สมการลอการิทึม

• แก้โดยใช้นิยามของฟังก์ชันลอการิทึม
  • ถ้า log_ax = M
  • จะได้ว่า x = a^M
• แก้โดยการทำฐานให้เท่ากัน
  • ถ้า log_aM = log_aN
  • จะได้ว่า M = N
• แก้โดยการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น
  • หากจัดรูปสมการไม่ได้อาจแทนค่าตัวที่ติด log ด้วยตัวแปรอื่น แล้วจึงแก้สมการ

ตัวอย่างโจทย์ จงแก้สมการลอการิทึมต่อไปนี้

• log₅(x – 2) + 1 = log₅(x + 2) เฉลย
• log₃x – 2 = 3log_x3 เฉลย