PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาความสัมพันธ์และฟังก์ชัน คณิตศาสตร์ ม.ปลาย สรุปสูตร + แนวข้อสอบ A-Level

สรุปภาพรวม

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (Relations and Functions) เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซต โดยมีแนวคิดสำคัญ ได้แก่ ผลคูณคาร์ทีเซียน ความสัมพันธ์ โดเมนและเรนจ์ รวมถึงฟังก์ชันและการหาค่าฟังก์ชัน เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานสำคัญของการทำความเข้าใจกราฟและการวิเคราะห์ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเนื้อหาที่พบบ่อยในข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ ครับ

สรุปสูตรและเนื้อหาสำคัญ บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1. ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product)
• ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A × B

A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B}

• จำนวนสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน หาได้โดย ถ้า A มีสมาชิก m ตัว และ B มีสมาชิก n ตัว

n(A × B) = n(A)n(B) = mn

2. ความสัมพันธ์ (Relations)
ความสัมพันธ์ (r) คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ โดยคู่อันดับแต่ละคู่เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซตสองเซต

r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B จะได้ว่า

r = {(x, y) | (x, y) ϵ A × B}

3. โดเมนและเรนจ์ (Domain and Range)
• โดเมนของความสัมพันธ์ r (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
• เรนจ์ของความสัมพันธ์ r (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r

ความสัมพันธ์ของจำนวนจริง โดยปกติแล้ว Dr = ℝ และ Rr = ℝ

แต่จะมีรูปแบบที่จะมากำหนดโดเมน และเรนจ์ ดังนี้

1) เศษส่วน :
– ตัวส่วน ≠ 0

– ถ้าตัวเศษ ≠ 0 แล้วค่าของเศษส่วนจะ ≠ 0

2) เครื่องหมายรูท :
– ข้างในเครื่องหมายรูท ≥ 0

– ค่าของรูท ≥ 0

3) ยกกำลังสอง :
– เลขฐานเป็นจำนวนจริง

– ค่าของกำลังสอง ≥ 0

4) ค่าสัมบูรณ์:
– ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นจำนวนจริง

– ค่าของค่าสัมบูรณ์ ≥ 0

ข้อควรจำ
– โดเมนพิจารณาสมาชิกตัวหน้า
– เรนจ์พิจารณาสมาชิกตัวหลัง

4. ความสัมพันธ์ผกผัน (Inverse Relation)
ความสัมพันธ์ผกผันของ r เขียนแทนด้วย r^-1

ถ้า r = {(x, y) ϵ A × B} จะได้ว่า

r^-1 = {(y, x) ϵ B × A | (x, y) ϵ r}

Dr^-1 = Rr และ Rr^-1 = Dr

* สามารถหา r^-1 ได้โดยเปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x และมีเงื่อนไขว่าโดเมนและเรนจ์จะต้องถูกต้อง

5. ฟังก์ชัน (Functions)
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมน จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น

• f เป็นฟังก์ชัน เมื่อ x แต่ละค่า จับคู่กับ y เพียงค่าเดียว
• ถ้าเส้นตรงแนวตั้งทุกเส้นตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด กราฟนั้นเป็นกราฟของฟังก์ชัน
• ถ้ามีเส้นตรงแนวตั้งบางเส้นตัดกราฟตั้งแต่ 2 จุดขึ้นไป
กราฟนั้นไม่เป็นกราฟของฟังก์ชัน
• ความสัมพันธ์ที่มี y ยกกำลังคู่ หรือ y อยู่ในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ จะไม่เป็นฟังก์ชัน

เป็นฟังก์ชัน

ไม่เป็นฟังก์ชัน

ข้อควรจำ
– x ตัวเดิมห้ามจับคู่กับ y ต่างกัน
– y ตัวเดิมสามารถจับคู่กับ x ต่างกันได้

6. การหาค่าฟังก์ชัน
ถ้า y = f(x)

การหาค่า f(a) คือ การแทน x = a ลงในฟังก์ชัน

ตัวอย่าง
f(x) = 2x + 3
f(2) = 2(2) + 3 = 7

7. รูปแบบของฟังก์ชัน
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-One Function)

ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งถ้า f(a) = f(b) แล้ว a = b

• ฟังก์ชันทั่วถึง (Onto Function)

ฟังก์ชัน f: A → B เป็นฟังก์ชันทั่วถึง ถ้าสมาชิกทุกตัวใน B เป็นค่าที่ฟังก์ชันให้ได้ จะได้ว่า เรนจ์ของ f เท่ากับ B

8. ฟังก์ชันลดและฟังก์ชันเพิ่ม
• ฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing Function) :

ถ้า x₂ > x₁ แล้ว f(x₂) > f(x₂)
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น เมื่อ x เพิ่มขึ้น

• ฟังก์ชันลด (Decreasing Function) :
ถ้า x₂ > x₂ แล้ว f(x₂) < f(x₂)
ฟังก์ชันจะลดลง เมื่อ x เพิ่มขึ้น

9. ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function)
ฟังก์ชันผกผันของ f เขียนแทนด้วย f^-1

ฟังก์ชันผกผันทำหน้าที่สลับผลจาก y กลับไปเป็น x

วิธีหาฟังก์ชันผกผัน
1) กำหนด y = f(x)
2) สลับ x กับ y
3) แก้สมการเพื่อหา y
4) เขียน y = f^-1(x)

ข้อควรจำ
– ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันที่เป็นฟังก์ชันได้ เมื่อฟังก์ชันเดิมเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนที่กำหนด
– ถ้า f^-1 เป็นฟังก์ชัน แล้ว f(a) = b จะได้ว่า f^-1(b) = a

10. การดำเนินการของฟังก์ชัน
กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x) โดย g(x) ≠ 0

โดเมนของฟังก์ชันที่ได้ ต้องเป็นค่าที่อยู่ในโดเมนของทั้ง f และ g

11. ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function)
ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย (f ∘ g)(x) หมายถึง นำ x ไปแทนใน g ก่อน จากนั้นนำผลลัพธ์ไปแทนใน f

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

โดเมนของ f ∘ g ต้องเป็นค่าของ x ที่ทำให้
1) g(x) มีความหมาย
2) g(x) อยู่ในโดเมนของ f

สมบัติของฟังก์ชันประกอบ
1) (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)
2) (g ∘ f)^-1 = f^-1 ∘ g^-1
3) (h ∘ g ∘ f)^-1 = f^-1 ∘ g^-1 ∘ h^-1

ข้อควรจำ
– โดยทั่วไป (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)

ตัวอย่างโจทย์ บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ตัวอย่างโจทย์ การหาโดเมนและเรนจ์
กำหนดความสัมพันธ์

จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ $r$ วิธีทำ

ตอบ Dr = [-3, 3] และ Rr = [0, 3]

ตัวอย่างโจทย์ ฟังก์ชันประกอบ
กำหนดให้ f(x) = 2x + 1 , g(x) = x² – 3 จงหา (f∘g)(x) และ (g∘f)(x)

วิธีทำ

ฟังก์ชันประกอบ (f∘g)(x)
(f∘g)(x) = f(g(x))

= 2(x² – 3) + 1
= 2x² – 5

ฟังก์ชันประกอบ (g∘f)(x)

(g∘f)(x) = g(f(x))

= (2x + 1)² – 3
= 4x² + 4x – 2

ตอบ (f∘g)(x) = 2x² – 5 และ (g∘f)(x) = 4x² + 4x – 2

ตัวอย่างโจทย์ ฟังก์ชันผกผัน
กำหนดให้

วิธีทำ

วิเคราะห์แนวข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์
บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

สถิติการออกข้อสอบ A-Level ย้อนหลัง

บท	A-Level 67	A-Level 68	A-Level 69
เซต	1	2	1
ตรรกศาสตร์	2	1	1
จำนวนจริง	2	2	1
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน	1	1	3
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม	2	1	2
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย	2	3	3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	2	2	2
เมทริกซ์	1	2	1
เวกเตอร์	2	2	2
จำนวนเชิงซ้อน	2	1	2
หลักการนับเบื้องต้น	2	2	2
ความน่าจะเป็น	1	1	1
ลำดับและอนุกรม	3	3	2
แคลคูลัสเบื้องต้น	3	3	3
สถิต	2	1	2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น	2	3	2

จะเห็นว่า บทที่ออกบ่อย ได้แก่
– แคลคูลัสเบื้องต้น
– ลำดับและอนุกรม
– เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย
– ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
อย่าลืมเตรียมเนื้อหาบทเหล่านี้ให้ดีนะครับ

ส่วนบทความสัมพันธ์และฟังก์ชันนั้น จะออกเยอะบ้างเป็นบางปี ครับ

ตัวอย่างโจทย์ A-Level การหาโดเมนและเรนจ์
ให้ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย

ข้อใดถูกต้องเกี่ยวกับโดเมน และเรนจ์ของ f

1. โดเมนคือ {x ∈ R ∣ x ≥ 1} และเรนจ์คือ { y ∈ R ∣ y ≥ 0}

2. โดเมนคือ R และเรนจ์คือ {y ∈ R ∣ y ≥ 0}

3. โดเมนคือ {x ∈ R ∣ x ≥ 0} และเรนจ์คือ {y ∈ R ∣ y > 0}

4. โดเมนคือ {x ∈ R ∣ x ≥ 1} และเรนจ์คือ {y ∈ R ∣ y ≥ 1}

5. โดเมนคือ R และเรนจ์คือ {y ∈ R ∣ y ≥ 1}

วิธีทำ

ตอบ 5. โดเมนคือ R และเรนจ์คือ {y ∈ R ∣ y ≥ 1}

ตัวอย่างโจทย์ A-Level สมบัติของฟังก์ชัน
กำหนดให้ A = {-1, 0, 1, 2} และ B ⊂ A โดยที่ 2 ∉ B

ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B มี f(-1) = 1 และ f(1) = -1

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า f(2)>0 แล้ว f(2)=1

ข. f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

ค. f มีฟังก์ชันผกผัน

ข้อใดถูกต้อง

1. ก. เท่านั้น 2. ก. และ ข. 3. ก. และ ค. 4. ข. และ ค. 5. ก. ข. และ ค.

วิธีทำ

เนื่องจาก f(-1) = 1 และ f(1) = -1
ดังนั้น 1, -1 ∈ B

และเนื่องจาก 2 ∉ B จึงได้ว่า
B ⊂ {-1, 0, 1}

พิจารณา ก. ถ้า f(2) > 0 แล้ว f(2) = 1
เนื่องจาก f(2) ∈ B ⊂ {-1, 0, 1}
ถ้า f(2) > 0 จะได้ f(2) = 1
ดังนั้น ข้อ ก. ถูกต้อง

พิจารณา ข. f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
เนื่องจาก f(-1) = 1 และ f(1) = -1
จะเห็นว่า เมื่อ x เพิ่ม f กลับลดลง จึงไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ดังนั้น ข้อ ข. ไม่ถูกต้อง

พิจารณา ค. f มีฟังก์ชันผกผัน
เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
โดย A มีสมาชิก 4 ตัว และ B มีสมาชิกไม่เกิน 3 ตัว
ดังนั้น f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงไม่มีฟังก์ชันผกผันที่เป็นฟังก์ชัน
ดังนั้น ข้อ ค. ไม่ถูกต้อง

ตอบ 1. ก. เท่านั้น

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับบทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ออกสอบ A-Level กี่ข้อ?
ตอบ บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ออกสอบปีละประมาณ 1 – 2 ข้อ ครับ

ความสัมพันธ์และฟังก์ชันแตกต่างกันอย่างไร?
ตอบ ความสัมพันธ์ คือ เซตของคู่อันดับที่เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน
ส่วนฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ชนิดหนึ่ง ที่สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกตัวหลังได้เพียงค่าเดียว ครับ

จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน?
ตอบ ความสัมพันธ์ที่มี y ยกกำลังคู่ หรือ y อยู่ในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ จะไม่เป็นฟังก์ชัน
โดยกราฟเป็นฟังก์ชันเมื่อเส้นตรงแนวตั้งทุกเส้นตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุด ครับ

Video ตัวอย่างการสอน

คณิตศาสตร์ A-Level

5 Videos

แค่พื้นฐานดี ข้อนี้ก็ง่ายเลย! - Highlight เฉลยข้อสอบ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ปี 69