PANYA SOCIETY

สรุปเนื้อหาสถิติ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย สรุปสูตร + แนวข้อสอบ A-Level

เขียนโดย ทีมวิชาการ panya society · เผยแพร่เมื่อ 11 พฤศจิกายน 2569 · ปรับปรุงล่าสุด 11 พฤศจิกายน 2569

สรุปภาพรวม

สถิติ (Statistics) เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ศึกษาการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่ออธิบายลักษณะของข้อมูลและเปรียบเทียบข้อมูลหลายชุด โดยมีแนวคิดสำคัญ ได้แก่ การวัดค่ากลาง (ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม) การวัดตำแหน่งสัมพัทธ์ (ควอร์ไทล์ เปอร์เซ็นไทล์) การวัดการกระจาย (พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน) และค่ามาตรฐาน เนื้อหานี้เป็นพื้นฐานของการแจกแจงความน่าจะเป็น และออกสอบ A-Level คณิตศาสตร์ทุกปี ครับ

สรุปสูตรและเนื้อหาสำคัญ
บทสถิติ

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean)
ข้อมูลดิบ N ตัว (ประชากร) หรือ n ตัว (ตัวอย่าง):

μ = Σx / N หรือ x̄ = Σx / n

ข้อมูลที่มีความถี่ (ตารางแจกแจงความถี่ ใช้จุดกึ่งกลางชั้นเป็น x):

x̄ = Σfx / Σf

ค่าเฉลี่ยรวมของข้อมูลสองกลุ่ม:

x̄_รวม = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) / (n₁ + n₂)

เทคนิคทำโจทย์: ถ้าโจทย์ให้ค่าเฉลี่ยกับจำนวนข้อมูล ให้หาผลรวมก่อน (Σx = n·x̄) เสมอ เมื่อเพิ่มหรือลบข้อมูล ให้ปรับผลรวมแล้วจึงหารด้วยจำนวนข้อมูลใหม่ ค่าเฉลี่ยไวต่อค่าผิดปกติ (ค่าสุดโต่ง)

2. มัธยฐานและฐานนิยม
มัธยฐาน (Median) คือ ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมาก ตำแหน่งที่ (n + 1)/2 ถ้า n เป็นคู่ ให้เฉลี่ยข้อมูลสองตัวตรงกลาง

ฐานนิยม (Mode) คือ ค่าที่ซ้ำมากที่สุด (อาจไม่มี มีหนึ่งค่า หรือมีหลายค่าก็ได้)

ข้อมูลแจกแจงความถี่ (ชั้นแบบต่อเนื่อง L = ขอบล่างของชั้น, I = ความกว้างชั้น):

Med = L + [(N/2 − F) / f] × I

Mo = L + [d₁ / (d₁ + d₂)] × I

โดย F คือ ความถี่สะสมก่อนชั้นมัธยฐาน f คือ ความถี่ของชั้นนั้น d₁ คือ ผลต่างความถี่ของชั้นฐานนิยมกับชั้นก่อนหน้า และ d₂ คือ ผลต่างกับชั้นถัดไป

เทคนิคทำโจทย์: ข้อมูลเบ้ขวา (หางยาวไปทางค่ามาก) ค่าเฉลี่ย > มัธยฐาน > ฐานนิยม ข้อมูลเบ้ซ้ายจะกลับกัน ถ้ามีค่าผิดปกติ ให้ใช้มัธยฐานเป็นตัวแทนข้อมูลจะเหมาะกว่า

3. ควอร์ไทล์ เปอร์เซ็นไทล์ และแผนภาพกล่อง
ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ r (Q_r) และเปอร์เซ็นไทล์ที่ r (P_r) ของข้อมูลที่เรียงแล้ว:

ตำแหน่ง Q_r = r(n + 1)/4 , ตำแหน่ง P_r = r(n + 1)/100

ถ้าตำแหน่งไม่เป็นจำนวนเต็ม ให้ประมาณค่าระหว่างข้อมูลสองตัวที่อยู่ติดกัน (ควรตรวจวิธีที่โจทย์กำหนด) สำหรับข้อมูลแจกแจงความถี่:

Q_r = L + [(rN/4 − F) / f] × I

ช่วงระหว่างควอร์ไทล์: IQR = Q₃ − Q₁
แผนภาพกล่องใช้ 5 ค่า คือ ค่าต่ำสุด, Q₁, Q₂ (มัธยฐาน), Q₃, ค่าสูงสุด
ค่าผิดปกติ คือ ข้อมูลที่น้อยกว่า Q₁ − 1.5(IQR) หรือมากกว่า Q₃ + 1.5(IQR)

4. การวัดการกระจาย

พิสัย = ค่าสูงสุด − ค่าต่ำสุด

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S.D.) และความแปรปรวน (σ²):

σ = √[ Σ(x − μ)² / N ] = √[ Σx²/N − μ² ]

s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ] (ข้อมูลตัวอย่าง)

ข้อมูลแจกแจงความถี่:

σ² = Σfx²/N − x̄²

สัมประสิทธิ์การแปรผัน (ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลคนละหน่วยหรือค่าเฉลี่ยต่างกัน):

C.V. = (S.D. / x̄) × 100%

เทคนิคทำโจทย์: ถ้านำค่าคงที่ c ไปบวกหรือลบทุกตัว ค่ากลางเปลี่ยนตาม แต่ S.D. และพิสัย ไม่เปลี่ยน ถ้านำ a ไปคูณทุกตัว ค่ากลางคูณ a ส่วน S.D. คูณ |a| และความแปรปรวนคูณ a² ดังนั้น y = ax + b จะได้ ȳ = ax̄ + b, S.D._y = |a|·S.D._x

ตัวอย่างโจทย์ บทสถิติ

ตัวอย่างโจทย์ ค่ากลางและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
กำหนดข้อมูล 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (คิดแบบประชากร)

วิธีทำ

ค่าเฉลี่ย: μ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9)/8 = 40/8 = 5

มัธยฐาน: n = 8 (คู่) ตำแหน่งที่ 4 และ 5 คือ 4 และ 5 จึงได้ (4 + 5)/2 = 4.5

ฐานนิยม: 4 (ซ้ำ 3 ครั้ง)

ผลต่างจากค่าเฉลี่ย: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 ยกกำลังสอง: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 รวม = 32

σ² = 32/8 = 4

จึงได้ σ = √4 = 2

ตอบ ค่าเฉลี่ย 5, มัธยฐาน 4.5, ฐานนิยม 4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2

วิธีทำ

ค่าเฉลี่ย: μ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9)/8 = 40/8 = 5

มัธยฐาน: n = 8 (คู่) ตำแหน่งที่ 4 และ 5 คือ 4 และ 5 จึงได้ (4 + 5)/2 = 4.5

ฐานนิยม: 4 (ซ้ำ 3 ครั้ง)

ผลต่างจากค่าเฉลี่ย: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 ยกกำลังสอง: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 รวม = 32

σ² = 32/8 = 4

จึงได้ σ = √4 = 2

ตอบ ค่าเฉลี่ย 5, มัธยฐาน 4.5, ฐานนิยม 4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2

ตัวอย่างโจทย์ ตารางแจกแจงความถี่
คะแนนสอบของนักเรียน 40 คน แจกแจงความถี่ได้ดังตาราง (ชั้นแบบขอบล่าง–ขอบบน) จงหามัธยฐานและค่าเฉลี่ย

ชั้นคะแนน	20 – 30	30 – 40	40 – 50	50 – 60
ความถี่ (f)	4	10	16	10

วิธีทำ

มัธยฐาน N/2 = 20 ความถี่สะสม: 4, 14, 30, 40 จึงอยู่ในชั้น 40 – 50

L = 40, F = 14, f = 16, I = 10

Med = 40 + [(20 − 14)/16] × 10 = 40 + 3.75 = 43.75

ค่าเฉลี่ย จุดกึ่งกลางชั้น: 25, 35, 45, 55

Σfx = 4(25) + 10(35) + 16(45) + 10(55) = 100 + 350 + 720 + 550 = 1720

x̄ = 1720/40 = 43

ตอบ มัธยฐาน 43.75 และค่าเฉลี่ย 43

ชั้นคะแนน	20 – 30	30 – 40	40 – 50	50 – 60
ความถี่ (f)	4	10	16	10

วิธีทำ

มัธยฐาน N/2 = 20 ความถี่สะสม: 4, 14, 30, 40 จึงอยู่ในชั้น 40 – 50

L = 40, F = 14, f = 16, I = 10

Med = 40 + [(20 − 14)/16] × 10 = 40 + 3.75 = 43.75

ค่าเฉลี่ย จุดกึ่งกลางชั้น: 25, 35, 45, 55

Σfx = 4(25) + 10(35) + 16(45) + 10(55) = 100 + 350 + 720 + 550 = 1720

x̄ = 1720/40 = 43

ตอบ มัธยฐาน 43.75 และค่าเฉลี่ย 43

ตัวอย่างโจทย์ ควอร์ไทล์และค่าผิดปกติ
เวลาที่นักเรียน 11 คนใช้เดินทางมาโรงเรียน (นาที) เรียงจากน้อยไปมากได้ 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 45 จงหา Q₁, Q₂, Q₃, ช่วงระหว่างควอร์ไทล์ และตรวจว่ามีค่าผิดปกติหรือไม่ รวมทั้งเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยกับมัธยฐาน

วิธีทำ

n = 11 ตำแหน่ง Q₁ = 1(12)/4 = 3 ตำแหน่ง Q₂ = 2(12)/4 = 6 ตำแหน่ง Q₃ = 3(12)/4 = 9

Q₁ = 7, Q₂ = 12, Q₃ = 16

IQR = 16 − 7 = 9

เกณฑ์ค่าผิดปกติ: Q₁ − 1.5(9) = 7 − 13.5 = −6.5 และ Q₃ + 1.5(9) = 16 + 13.5 = 29.5

ข้อมูลที่มากกว่า 29.5 คือ 45 จึงเป็นค่าผิดปกติ (ไม่มีข้อมูลตัวใดน้อยกว่า −6.5)

ค่าเฉลี่ย = (4 + 6 + 7 + 9 + 10 + 12 + 13 + 15 + 16 + 18 + 45)/11 = 155/11 ≈ 14.1 ซึ่งมากกว่ามัธยฐาน (12) เพราะค่า 45 ดึงค่าเฉลี่ยขึ้น

ตอบ Q₁ = 7, Q₂ = 12, Q₃ = 16, IQR = 9 มีค่าผิดปกติ 1 ตัว คือ 45 และค่าเฉลี่ย (≈ 14.1) มากกว่ามัธยฐาน (12)

วิเคราะห์แนวข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์
บทสถิติ

สถิติการออกข้อสอบ A-Level ย้อนหลัง

บท	A-Level 67	A-Level 68	A-Level 69
เซต	1	2	1
ตรรกศาสตร์	2	1	1
จำนวนจริง	2	2	1
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน	1	1	3
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม	2	1	2
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย	2	3	3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	2	2	2
เมทริกซ์	1	2	1
เวกเตอร์	2	2	2
จำนวนเชิงซ้อน	2	1	2
หลักการนับเบื้องต้น	2	2	2
ความน่าจะเป็น	1	1	1
ลำดับและอนุกรม	3	3	2
แคลคูลัสเบื้องต้น	3	3	3
สถิต	2	1	2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น	2	3	2

จะเห็นว่า บทที่ออกบ่อย ได้แก่
– แคลคูลัสเบื้องต้น
– ลำดับและอนุกรม
– เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย
– ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
อย่าลืมเตรียมเนื้อหาบทเหล่านี้ให้ดีนะครับ

ส่วนบทสถิติออกสอบปีละ 1 – 2 ข้อ แม้จะไม่เยอะ แต่เป็นบทที่ใช้สูตรไม่มากและทำคะแนนได้ง่าย อีกทั้งเป็นพื้นฐานของบทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น จึงไม่ควรทิ้งนะครับ

ตัวอย่างโจทย์ A-Level ค่าเฉลี่ย
ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 4, 8, 12, 16, 20 ให้ x เป็นค่าหนึ่งในข้อมูลชุดนี้ ถ้าตัด x ออกไปแล้ว
จะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่มีค่าเท่ากับ 12 ข้อใดคือค่าของ x ดังกล่าว
1. 4 2. 8 3. 12 4. 16 5. 20

วิธีทำ

ผลรวมข้อมูลเดิม

Σx = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60

เมื่อตัด x ออก จะเหลือข้อมูล 5 − 1 = 4 จำนวน และผลรวมเหลือ 60 − x

(60 − x) / 4 = 12

60 − x = 48

x = 12

ตอบ ตัวเลือกที่ 3. 12

ตัวอย่างโจทย์ A-Level ความแปรปรวน
ข้อมูลมี 5 จำนวน ค่าเฉลี่ย 0 จึงได้ผลรวมเท่ากับ 0

(−6 + x + y + z + 3) / 5 = 0

x + y + z = 3 …(1)

ฐานนิยมเท่ากับ 1 แปลว่า 1 ต้องเป็นค่าที่ซ้ำมากที่สุด จึงต้องปรากฏอย่างน้อย 2 ครั้ง ในขณะที่ −6 และ 3 ไม่ใช่ 1 จึงมีได้อย่างละ 1 ตัว ดังนั้นต้องมี 1 อยู่ใน x, y, z อย่างน้อย 2 ตัว

ข้อมูลเรียงจากน้อยไปมาก จึงให้ x = y = 1 (ในกรณีที่ 1 ซ้ำสองตัวใดก็ตาม จะมีค่า 1 สองตัวนี้อยู่ติดกัน) และแทนใน (1)

1 + 1 + z = 3 → z = 1

ถ้าให้ 1 อยู่ในตำแหน่งอื่นสองตำแหน่ง ก็ได้สมการเดียวกัน คือตัวที่เหลือต้องเท่ากับ 3 − 1 − 1 = 1 เสมอ จึงได้ x = y = z = 1

ข้อมูลคือ −6, 1, 1, 1, 3

ข้อมูลเป็นของประชากร จึงหารด้วย N = 5 ใช้สูตร σ² = Σx²/N − μ² เมื่อ μ = 0

Σx² = (−6)² + 1² + 1² + 1² + 3² = 36 + 1 + 1 + 1 + 9 = 48

σ² = 48/5 − 0² = 48/5 = 9.6

ตอบ 9.60

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับบทสถิติ

บทสถิติ ออกสอบ A-Level กี่ข้อ?
ตอบ บทสถิติ ออกสอบปีละประมาณ 1 – 2 ข้อ ครับ

ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม ควรเลือกใช้ค่าใดเมื่อไร?
ตอบ ค่าเฉลี่ยใช้ได้ดีเมื่อข้อมูลกระจายสมมาตรและไม่มีค่าผิดปกติ ถ้าข้อมูลเบ้หรือมีค่าสุดโต่ง มัธยฐานจะเป็นตัวแทนที่เหมาะกว่า ส่วนฐานนิยมใช้เมื่อสนใจค่าที่พบบ่อยที่สุด และใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพได้ ครับ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรกับของตัวอย่างต่างกันอย่างไร?
ตอบ ของประชากรหารด้วย N ส่วนของตัวอย่างหารด้วย n − 1 โจทย์มักระบุว่าให้คิดแบบใด ถ้าไม่ระบุ ให้ดูจากบริบทว่าข้อมูลคือทั้งหมด (ประชากร) หรือสุ่มมาบางส่วน (ตัวอย่าง) ครับ

Video ตัวอย่างการสอน

คณิตศาสตร์ A-Level

5 Videos

แค่พื้นฐานดี ข้อนี้ก็ง่ายเลย! - Highlight เฉลยข้อสอบ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ปี 69